Teoremas inversos discretos

• Autores: Walsh, Miguel Nicolás
• Año de publicación: 2012
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Sasyk, Román
• Materia: PROMEDIOS ERGODICOS NO CONVENCIONALES; TEOREMAS DE DESCOMPOSICION; SECUENCIAS POLINOMIALES; PROBLEMA INVERSO DE CRIBA; CRIBAS MULTIDIMENSIONALES; NONCONVENTIONAL ERGODIC AVERAGES; DECOMPOSITION THEOREMS; POLYNOMIAL SEQUENCES; INVERSE SIEVE PROBLEM; HIGH DIMENSIONAL SIEVES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

La presente tesis estudia dos instancias diferentes de teoremas inversos discretos, la primera relacionada con cuestiones de convergencia en la teoría ergódica y la segunda con problemas de distribución local en la teoría de números. El primer resultado nos permite caracterizar aquellas funciones que pueden formar promedios ergódicos no convencionales grandes en la norma L2. Discutimos luego descomposiciones abstractas de estructura y aleatoriedad y las extendemos al contexto de la teoría ergódica, habilitando la posibilidad de estudiar varios niveles de estructura en forma simultánea. Combinando estas herramientas con el teorema inverso previamente mencionado y un proceso inductivo adecuado, logramos demostrar que los promedios ergódicos polinomiales múltiples provenientes de la acción de un grupo nilpotente de transformaciones que preservan la medida en un espacio de probabilidad siempre convergen en norma. Esto responde una conjetura de Bergelson y Leibman. El segundo resultado concierne la distribución de conjuntos en clases residuales. Introducimos los conceptos de conjuntos característicos y genéricos, y los aplicamos en el marco de la criba de Gallagher para mostrar que si un conjunto grande de puntos enteros S ⊆ {1,...,N}d, d > 1, ocupa pocas clases residuales modulo p, para muchos primos p, entonces debe estar esencialmente contenido en el conjunto de soluciones de una ecuación polinomial de grado acotado. Esto resuelve una pregunta de Helfgott y Venkatesh.
The present thesis studies two diferent instances of discrete inverse theorems, the first one pertaining convergence issues in ergodic theory and the second one problems of local distribution in number theory. The first result allows us to characterize those functions that can form nonconventional ergodic averages with large L2 norm. We then discuss abstract structurerandomness decompositions and extend them to the context of ergodic theory, by allowing for diferent levels of structure to be handled simultaneously. Combining these tools with the aforementioned inverse theorem and an adequate induction procedure, we are able to show that multiple polynomial ergodic averages arising from nilpotent groups of measure preserving transformations of a probability space always converge in norm. This answers a conjecture of Bergelson and Leibman. The second result concerns the distribution of sets in residue classes. We introduce the concepts of characteristic and generic sets, and apply them in the framework of the larger sieve to show that if a big set of integer points S ⊆ {1,...,N}d, d > 1, occupies few residue classes mod p, for many primes p, then it must essentially lie in the solution set of some polynomial equation of low degree. This settles a question of Helfgott and Venkatesh.
Fil: Walsh, Miguel Nicolás. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.