Equivalencias de bases en aproximación greedy

• Autores: Berasategui, Miguel Hernán
• Año de publicación: 2024
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Lassalle, Silvia Beatriz
• Materia: ALGORITMO GREEDY; ALGORITMO GREEDY DE CHEVYSHEV; BASES SEMI-GREEDY; INCONDICIONALIDAD PARCIAL; BASES QUASI-GREEDY; THRESHOLDING GREEDY ALGORITHM; CHEBYSHEV THRESHOLDING GREEDY ALGORITHM; SEMI-GREEDY BASES; PARTIAL UNCONDITIONALITY; QUASI-GREEDY BASES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis consideramos sistemas de coordenadas con funcionales biortogonales en espacios de Banach y p-Banach (que llamamos “bases”), y estudiamos distintas propiedades tipo “greedy”, es decir, propiedades definidas en función del algoritmo greedy (thresholding greedy algorithm, o TGA) - o algoritmos derivados del mismo o similares-, que consiste esencialmente en aproximar cada vector f del espacio con proyecciones, tomando primero los elementos de la base en los que f tiene coordenadas de mayor modulo. En particular, mostramos caracterizaciones de y equivalencias entre algunas de estas propiedades tipo greedy, como asimismo algunas conexiones entre las mismas y algunos tipos de incondicionalidad parcial, que ya habían sido estudiados antes de la introducción del algoritmo greedy. Primero nos enfocamos en bases almost greedy y semi-greedy en espacios de Banach. Para ello, estudiamos propiedades generales de las sucesiones seminormalizadas en estos espacios, y obtenemos resultados que nos permiten demostrar la implicación semi-greedy ⇒ almost greedy (1) para bases de Markushevich. Puesto que la implicación recíproca también es cierta - lo que se conoce desde la introduccion de las bases semi-greedy -, esto completa la prueba de la equivalencia entre ambas propiedades en el contexto mencionado. Por otra parte, mostramos que la condición de que la base sea de Markushevich es necesaria para la implicación (1), ya que si no se pide tal condición, podemos construir una base semi-greedy que no es almost greedy. Luego pasamos a estudiar propiedades de tipo greedy más débiles y sus conexiones con formas débiles de incondicionalidad en espacios de Banach o, más generalmente, p-Banach. En particular, mostramos que una base es quasi-greedy for largest coefficients si y solo sí es nearly unconditional, mientras que es truncation quasi-greedy si y solo si es bounded-oscillation unconditional. También probamos que las dos formas de incondicionalidad parcial recién mencionadas no son equivalentes, construyendo bases quasi-greedy for largest coefficients que no son truncation quasi-greedy. Finalmente, estudiamos bases quasi-greedy en espacios de Banach. Esta propiedad estrictamente mas fuerte que ser truncation quasi-greedy, y es la más débil para la cual el TGA converge. En este contexto, mostramos que para que una base sea quasi-greedy, es suficiente que las proyecciones en conjuntos greedy de cardinal en alguna (o cualquier) sucesión estrictamente creciente n = (nk)k∈N con nk+1 nk k∈N acotada estén uniformemente acotadas [fórmula aproximada, revisar la misma en el original].
In this thesis we consider coordinate systems with biorthogonal functionals in Banach and p-Banach spaces (which we call “bases”), and study different greedy-type properties, that is, properties defined in terms of the Thresholding Greedy Algorithm (TGA) - or algorithms that are similar to or derived from it -, which essentially consists in approximating each vector f of the space by means of projections on finite sets containing elements of the basis in which the coordinates of f have the largest moduli. In particular, we show characterizations of and equivalences between some of these greedy-type properties, as well as connections between them and some kinds of partial unconditionality - which have been studied before the introduction of the TGA. In this context, first we focus on almost greedy and semi-greedy bases in Banach spaces. To this end, we study general properties of seminormalized sequences in such spaces, which allow us to prove the implication semi-greedy ⇒ almost greedy (1) for Markushevich bases. Given that the reciprocal implication also holds - which is known since the introduction of semi-greedy bases -, this completes the proof of the equivalence between both properties, in the aforementioned context. Additionally, we prove that the Markushevich hypothesis is necessary for the implication (1), given that without it, we can construct a semi-greedy basis that is not almost greedy. Then we study weaker greedy-like properties and their connections with weak forms of unconditionality in Banach or more generally p-Banach spaces. In particular, we show that a basis is quasi-greedy for largest coefficients if and only if it is nearly unconditional, whereas it is truncation quasi-greedy if and only if it is bounded-oscillation unconditional. Additionally, we prove that those two forms of parcial unconditionality are not equivalent to each other, by constructing bases that are quasi-greedy for largest coefficients but not truncation quasi-greedy. Finally, we study quasi-greedy bases in Banach spaces. This property is strictly stronger than truncation quasi greediness, and it is the weakest condition under which the TGA converges. In this context, we prove that a sufficient condition for a basis to be quasi-greedy is the uniform boundedness of projections on greedy sets whose cardinality lie some (or any) strictly increasing sequence n = (nk)k∈N with nk+1 nk k∈N bounded [fórmula aproximada, revisar la misma en el original].
Fil: Berasategui, Miguel Hernán. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.