Análisis probabilístico de algoritmos y problemas combinatorios sobre cuerpos finitos

• Autores: Pérez, Mariana Valeria
• Año de publicación: 2016
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Matera, Guillermo; Cesaratto, Eda
• Materia: COMPLEJIDAD EN PROMEDIO; ALGORITMOS PROBABILISTICOS; FAMILIAS LINEALES DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN UN CUERPO FINITO; CONJUNTO DE VALORES; PATRONES DE FACTORIZACION; INTERSECCIONES COMPLETAS SINGULARES; LUGAR SINGULAR; PUNTOS RACIONALES; AVERAGE-CASE COMPLEXITY; PROBABILISTIC ALGORITHMS; LINEAR FAMILIES OF POLYNOMIALS OVER FINITE FIELDS; VALUE SETS; FACTORIZATION PATTERNS; SINGULAR COMPLETE INTERSECTIONS; SINGULAR LOCUS; FQ-RATIONAL POINTS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis analizamos la complejidad en promedio de dos algoritmos probabilísticos. Uno de ellos calcula puntos Fq-racionales de hipersuperficies definidassobre el cuerpo finito Fq de q elementos en base a una estrategia de "búsqueda enbandas verticales". El otro es el algoritmo clásico de factorización de polinomios univariadoscon coeficientes en Fq. En este caso nos interesa su comportamiento cuandose aplica a familias de polinomios cuyos coeficientes satisfacen ciertas relacioneslineales. A fin de realizar dichos análisis, proporcionamos estimaciones explícitas del promediodel cardinal del conjunto de valores y la distribución de patrones de factorización en familias lineales de polinomios sobre cuerpos finitos. Los resultadosexpuestos, que mejoran los existentes en la literatura sobre el tema, se basan en unnuevo enfoque, que reduce estas cuestiones combinatorias a la estimación del númerode puntos Fq-racionales de ciertas intersecciones completas singulares. Por talmotivo, parte de esta tesis se centra en el estudio de ciertas propiedades geométricasde dichas variedades.
In this thesis we analyze the average-case complexity of two probabilistic algorithms. The first one computes Fq-rational points of an hysuperface defined overthe finite field Fq of q elements based on a search strategy in "vertical strips". Thesecond one is the classical factorization algorithm for univariate polynomials withcoeficients in Fq. In this case we are interested in the behavior of the algorithmapplied to families of polynomials whose coeficients satisfy certain linear relations. For this purpose, we obtain explicit estimates on the average cardinality of thevalue set and on the distribution of factorization patterns on linear families of polynomialsover a finite field. The above results, which improve the existing results inthe literature, were obtained with a new approach that reduces these combinatorialissues to estimating the number of Fq-rational points of certain singular completeintersections. For this reason, part of this thesis focuses on the study of certaingeometric properties of these varieties.
Fil: Pérez, Mariana Valeria. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.