Estimaciones y resultados de existencia de puntos racionales de variedades singulares sobre cuerpos finitos y aplicaciones

• Autores: Privitelli, Melina Lorena
• Año de publicación: 2014
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Matera, Guillermo
• Materia: INTERSECCIONES COMPLETAS SINGULARES SOBRE CUERPOS FINITOS; PUNTOS RACIONALES; SEGUNDO TEOREMA DE BERTINI; VARIEDADES DEFINIDAS POR POLINOMIOS SIMETRICOS; CODIGO DE REED-SOLOMON ESTANDAR; DEEP HOLES; CONJUNTO DE VALORES PROMEDIO DE POLINOMIOS UNIVARIADOS SOBRE CUERPOS FINITOS; SINGULAR COMPLETE INTERSECTIONS DEFINED OVER A FINITE FIELD; RATIONAL POINTS; SECOND BERTINI´S THEOREM; VARIETIES DEFINED BY SYMMETRIC POLYNOMIALS; STANDARD REED-SOLOMON CODE; DEEP HOLES; AVERAGE VALUE SET OF UNIVARIATE POLYNOMIALS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

El primer objetivo de esta tesis es proporcionar estimaciones y resultados de existenciade puntos racionales de intersecciones completas singulares definidas sobre elcuerpo finito Fq. Nuestros resultados se basan en la obtención de nuevas versionesefectivas del segundo teorema de Bertini que garantizan la existencia de seccioneslineales no singulares de una variedad singular, definidas sobre Fq. Así, aplicando laconocida estimación de P. Deligne para variedades no singulares, obtenemos estimacionesy resultados de existencia para intersecciones completas cuyo lugar singulartiene codimensión al menos dos o tres. Dichas estimaciones se expresan en términosde la dimensión del lugar singular, el grado y la dimensión de la variedad. Además,proporcionamos una versión explícita de la estimación de Hooley para variedadessingulares. En la segunda parte de este trabajo aplicamos nuestras estimaciones a dos problemasconcretos de teoría de códigos y combinatoria. En ambos casos las variedadesinvolucradas son intersecciones completas simétricas, es decir, están definidas porpolinomios invariantes bajo la acción del grupo de permutaciones de sus coordenadas. Es por esto que, en primer lugar, estudiamos las propiedades geométricas dedichas variedades, más concretamente la dimensión del lugar singular de las mismas. El problema de teoría de códigos que abordamos es el de determinar la existencia dedeep holes en un código de Reed-Solomon estándar. En lo que respecta a problemasde combinatoria, analizamos el comportamiento del valor promedio del conjunto devalores (o “value set”) de ciertas familias de polinomios definidas sobre Fq[T]. Enambos casos, mejoramos los resultados existentes en la literatura.
The first aim of this thesis is to obtain estimates and existence results for rational points of singular complete intersections defined over a finite field Fq. Ourresults rely on obtaining new effective versions of the second Bertini theorem. Thistheorem asserts that there exists a nonsingular linear section defined over Fq of asingular variety defined over Fq. Thus, by applying the well known Deligne estimate,we provide estimates and existence results for rational points of singular completeintersections for which the singular locus has codimension at least two or three. Ourestimates are expressed in terms of the dimension of the singular locus, the degreeand the dimension of the variety. Furthermore, we obtain an explicit version of the Hooley estimate for singular complete intersections. In the second part of this thesis we apply our estimates to concrete problems ofcoding theory and combinatorics. In both cases, the varieties under consideration aresymmetric complete intersections, namely, they are defined by polynomials whichare invariant under the action of the group of permutations of their coordinates. Hence, we first study some geometric properties of symmetric complete intersections;more precisely, we obtain information about the dimension of the singular locus ofthese varieties. Concerning coding theory, we study the existence of deep holes ofthe standard Reed-Solomon code. With respect to combinatorics, we analyze theaverage value set of families of univariate polynomials with coefficients in Fq. Inboth cases, we improve the existing results in the literature.
Fil: Privitelli, Melina Lorena. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.