Entre k-coloreo y coloreo con listas: µ-coloreo

• Autores: Cecowski Palacio, Mariano Agustín
• Año de publicación: 2005
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis de grado
• Colaborador/a o director/a de tesis: Bonomo, Flavia; Durán, Guillermo Alfredo
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

El problema de k-coloreo en un grafo consiste en asignarle a cada vértice un ‘color’ o ‘número’ de forma tal que dos vértices adyacentes no reciban el mismo, y usando no más de k etiquetas distintas. Es un problema NP-completo en el caso general, aunque se puede resolver en tiempo polinomial restringiendo la entrada a ciertas clases de grafos, como por ejemplo los grafos perfectos. El problema de asignación de recursos indistinguibles a tareas es una clara situación que es fácilmente representable con k-coloreo. Cada vértice representa una tarea, y las tareas a las cuales no se les puede asignar el mismo recurso son adyacentes. Los colores representarán en este caso los recursos. En el problema de coloreo con listas, cada vértice tiene asociada una lista de ‘colores’ o ‘valores’ con los cuales puede ser etiquetado. El problema consiste, entonces, en etiquetar todos los vértices del grafo de forma tal que no haya dos vértices adyacentes que utilicen la misma etiqueta y a cada uno de los vértices le sea asignada una etiqueta perteneciente a su propia lista de etiquetas. El problema de coloreo con listas es muy utilizado actualmente para la asignación de radiofrecuencias. En esta tesis estudiamos una variante nueva del problema de coloreo en grafos, el µ-coloreo, aplicable a problemas de asignación de recursos a tareas en los cuales los recursos son ordenables de modo tal que un recurso puede ser asignado a una tarea si su número de orden es suficientemente bajo. En el problema de 1 2 µ-coloreo cada vértice v tiene asociado un número natural µ(v), que es el máximo ‘color’ con el que puede ser etiquetado. Eso define una función de los vértices del grafo en los naturales. Notemos que el problema de k-coloreo es un caso particular de µ-coloreo, donde la función µ es constante con valor k, con lo cual µ-coloreo resulta ser NP-completo. A su vez, µ-coloreo es un caso particular del problema de coloreo con listas, donde la lista asociada al vértice v tiene la forma {1, . . . , µ(v)}. En esta tesis mostramos que, en términos de complejidad, el problema de µ-coloreo se encuentra estrictamente entre el coloreo y el coloreo con listas. Es decir, existe una clase de grafos para la cual µ-coloreo es polinomial y coloreo con listas es NPcompleto, y existe otra clase de grafos para la cual k-coloreo es polinomial y µ-coloreo es NP-completo. Una clique en un grafo es un subgrafo completo maximal. Berge definió en 1960 los grafos perfectos como aquellos G tales que, para todo subgrafo inducido H de G, H es coloreable con una cantidad de colores igual al tamaño de una clique máxima de H. Esto es equivalente a decir que G es perfecto si y sólo si para todo H subgrafo inducido de G, y para todo k, las cliques de H son k-coloreables si y sólo si H es k-coloreable. En esta tesis proyectamos el concepto de grafo perfecto al µ-coloreo, definiendo los grafos M-perfectos: un grafo G es M-perfecto si y sólo si, para todo H subgrafo inducido de G, y toda función µ, las cliques de H son µ-coloreables si y sólo si H es µ-coloreable. Obtuvimos para los grafos M-perfectos propiedades similares a las de los perfectos, como ser, una caracterización elegante por subgrafos prohibidos, un algoritmo polinomial de reconocimiento y un algoritmo polinomial para µ-coloreo en grafos M-perfectos. Los resultados de esta tesis aparecen publicados en [3].
Fil: Cecowski Palacio, Mariano Agustín. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.