Estudios poliedrales de problemas de coloreo de grafos

• Autores: Delle Donne, Diego Andrés
• Año de publicación: 2016
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Marenco, Javier
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Los problemas de coloreo de vértices surgen en una amplia gama de situacionesde la vida real. Ejemplos de ellos son los problemas de asignación defrecuencias en redes de telecomunicaciones, problemas de asignación de aulasa las materias de una universidad e incluso algunos problemas de planificación (scheduling). En general, cualquier problema de asignación de recursos atareas que contemple incompatibilidades entre pares de tareas para usar elmismo recurso, puede ser visto como un problema de coloreo de los vérticesde un grafo. Existen muchas variantes de problemas de coloreo de grafos motivadasgeneralmente por restricciones reales, tales como Precoloring extension,μ-coloring, (γ, μ)-coloring y List-coloring, entre otras. La programación lineal entera (PLE) ha demostrado ser una herramienta muyadecuada para resolver problemas de optimización combinatoria. En los últimos 15 a˜nos la PLE fue aplicada con éxito a problemas de coloreo de vérticesrecurriendo a distintas formulaciones para el problema clásico de coloreo talescomo el modelo estándar, la formulación por representantes, el orientation model y laformulación por conjuntos independientes, entre otras. Si bien muchos problemas de coloreo de grafos pueden ser resueltos en tiempopolinomial en ciertas familias de grafos, la mayoría de estos problemas noestá “bajo control” desde el punto de vista poliedral. Es decir, no se conocen formulacionesde programación lineal entera con descripciones completas de lospoliedros asociados. En el contexto de la teoría poliedral, la equivalencia entrelos problemas de optimización y separación sugiere que para estos problemasdebería existir alguna formulación cuyo problema de separación asociado puedaser resuelto en tiempo polinomial y, más aun, tal que el poliedro asociadoadmita una caracterización “elegante”, en términos de desigualdades lineales. La búsqueda de tales caracterizaciones es el objetivo principal del presentetrabajo de tesis. El objetivo teórico es completar la contraparte poliedral de aquellos problemasde coloreo de grafos que se encuentren ya bien resueltos por medio de técnicascombinatorias. El estudio de estos poliedros puede llevarnos a un mejor entendimientode sus estructuras permitiéndonos de esta forma encontrar nuevasfamilias de grafos para las cuales algunos problemas de coloreo tengan resolución polinomial, aportando así nuevos resultados útiles en la práctica. De esteestudio surgen también nuevas familias de desigualdades válidas que puedenincorporarse a algoritmos de planos de corte para contribuir así a mejorar superformance en la práctica. Con estos objetivos, en esta tesis estudiamos lospoliedros asociados a cuatro formulaciones distintas para el problema clásicode coloreo: el modelo estándar, la formulación por representantes, el orientationmodel y la formulación por conjuntos independientes. Presentamos adaptaciones de algunas de estas formulaciones para distintasvariantes de coloreo y en algunos casos mostramos que los problemas deoptimización en los poliedros asociados son polinomialmente equivalentes alproblema de optimización sobre el poliedro de coloreo clásico. Damos caracterizacionescompletas de los poliedros de coloreo para grafos que surgen deciertas operaciones. Para algunas de las formulaciones estudiadas, hallamosdescripciones completas de los poliedros asociados a distintas familias degrafos, entre ellas los árboles, grafos block, split y co-interval, entre otras. Estudiamostambién la relaci ón entre los poliedros de coloreo Pcol y el poliedro deconjuntos independientes STAB y mostramos que en algunos casos, el primeroes una cara del segundo (o hasta coincide con éste) para un grafo asociado algrafo original. Estos resultados nos permiten obtener nuevas familias de desigualdadesválidas para Pcol basadas en desigualdades válidas conocidas para STAB. Más aun, a raíz de estos resultados hallamos descripciones completasde Pcol para algunas familias de grafos en las que se conoce una descripciónde STAB para el grafo asociado. Presentamos también un estudio poliedral clásico para el orientation model en elcual describimos algunas familias de desigualdades válidas que definen facetasdel poliedro asociado. Basados en la estructura de estas familias, presentamosel procedimiento de path lifting, que combina dos desigualdades válidas genéricasy un camino entre dos vértices particulares y genera una familia infinitade desigualdades válidas. Mostramos que este procedimiento puede generarfacetas del poliedro de coloreo asociado y damos condiciones suficientes paraque esto ocurra.
Vertex coloring problems arise in a wide range of real-life situations. Somecommon examples are frequency assignment problems in telecomunicationnetworks, classroom assignment problems at universities and even certainscheduling problems. In general, any problem consisting in the assignment ofsome resources to jobs with incompatibility conditions among these jobs to usethe same resource can be seen as a vertex coloring problem on some graph. There exist many variants of the vertex coloring problem, usually motivatedby real restrictions, such as Precoloring extension, µ-coloring, (ɣ, µ)-coloring and List-coloring, among others. Integer linear programming (ILP) has prooved to be a powerful tool to solve combinatorialoptimization problems. In the last 15 years it has been successfullyapplied to vertex coloring problems by resorting to different formulations forthe classical coloring problem such as the standard model, the representativesformulation, the orientation model and the independent set formulation,among others. Despite the fact that many vertex coloring problems are polynomially solvableon certain graph classes, most of these problems are not “under control”from a polyhedral point of view. This is, we don’t know integer programmingformulations with complete descriptions for the associated polytopes. In thecontext of polyhedral theory, the equivalence between optimization and separationsuggests for these problems the existence of integer programmingformulations with polynomially-solvable separation problems and, moreover,whose associated polytopes admit elegant characterizations, in terms of linearinequalities. The search for such characterizations is the main goal of this thesis. The theoretical goal is to complete the polyhedral counterpart of those coloringproblems which we know can be solved in polynomial time by means ofcombinatorial techniques. The study of these polytopes can lead us to a betterunderstanding of their structures revealing some insight by which we can findnew classes of graphs where vertex coloring problems are polynomial, thuscontributing with new practical results. This study also yields new familiesof valid inequalities which may be used in cutting plane schemes, thus improvingthe performance on the resolution of vertex coloring problems. Withthese objectives, in this thesis we study four different known formulationsfor the classical graph coloring problem: the standard model, the representativesformulation, the orientation model and the independent set formulation. We present adaptations of some of these formulations for several variants ofvertex coloring and, in some cases, we show that the optimization problemsassociated with the corresponding polytopes are polynomially equivalent tothe optimization problem associated to the polytope for the classical vertexcoloring problem. We give complete characterizations of coloring polytopes forgraphs that are the product of some graph operators. For some of the studiedformulations, we found complete descriptions for the associated polytopesto several classes of graphs such as trees, block, split and co-interval graphs,among others. We further study the relation between coloring polytopes Pcoland stable set polytopes STAB and we show that, in some cases, the coloringpolytope for a graph G corresponds to a face of (or even coincides with) STAB( ˜G ) for a particular graph ˜G. These results allowed us to deduce newfamilies of valid inequalities for Pcol based on valid inequalities known for STAB. Furthermore, from these results we found complete descriptions for Pcol for some classes of graphs for which STAB is known for the associatedgraph. We also present a classical polyhedral study of the orientation model, where weintroduce new families of facet-inducing valid inequalities. Based on the structureof these families, we introduce the path lifting procedure, which combinestwo generic valid inequalities and a path between two particular vertices andgenerates an infinite family of valid inequalities for the associated polytope. We show that this procedure is able to generate facets of the polytope and wegive sufficient conditions for this to occur.
Fil: Delle Donne, Diego Andrés. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.