Estimadores de regresión de tipo M combinando alta eficiencia y bajo máximo sesgo

• Autores: Svarc, Marcela
• Año de publicación: 2006
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Yohai, Víctor J.
• Materia: ESTIMADORES DE TIPO M; REGRESION ROBUSTA; FUNCION DE MAXIMO SESGO; PROBLEMA DE HAMPEL; SESGO MINIMAX; M-ESTIMATES; ROBUST REGRESSION; MAXIMUM BIAS FUNCTION; HAMPEL´S PROBLEM
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Uno de los objetivos más importantes de la estadística robusta es el desarrollo de estimadores poco sensibles a pequeñas desviaciones de la distribución de las observaciones y a la presencia de observaciones atípicas, y que simultáneamente son eficientes en el caso que el modelo supuesto es correcto. Esto se puede lograr resolviendo el problema de encontrar estimadores que minimicen la varianza asintótica bajo un modelo central sujeto a que el máximo sesgo asintótico sea menor que una cota dada Este enfoque fue propuesto primero por Hampel (1974) quien encontró una solución aproximada para un modelo con un solo parámetro. La solución de Hampel simplifica el problema reemplazando el máximo sesgo asintótico por su aproximación lineal infinitesimal. En diversos trabajos posteriores se resolvieron problemas similares para modelos más complejos, incluido el modelo de regresión. En esta tesis se encuentra el estimador de tipo M de regresión que minimiza la varianza asintótica bajo el modelo central sujeto a que el máximo sesgo asintótico (no su aproximación linear infinitesimal) sea menor o igual a una cota dada. Este trabajo se encuentra organizado del siguiente modo. En el Capítulo 1 presentamos el modelo de regresión y hacemos una breve reseña de los conceptos más importantes para medir el grado de de robustez y eficiencia de un estimador. También introducimos varias clases de estimadores que se utilizarán en esta tesis enunciando sus propiedades más importantes. En el Capítulo 2 planteamos un problema tipo Hampel para los estimadores de tipo M en el modelo de regresión. Hallamos la función de scores que corresponde al estimador de tipo M que minimiza la varianza asintótica bajo el modelo central sujeta a una cota en el máximo sesgo asintótico. La solución que resuelve este problema es comparada con la solución aproximada obtenida por Yohai y Zamar (1997) basada en un concepto de sesgo infinitesimal. Por último, en el Capítulo 3, obtenemos un estimador de regresión que simultáneamente es altamente robusto desde el punto de vista del sesgo, y que es eficiente cuando los errores tienen distribución normal. Ese estimador está definido en dos etapas. En la primera de ellas calculamos un estimador basado en proyecciones de regresión. Esta elección se basa en el hecho de que este estimador es en cuanto a sesgo el más robusto de los estimadores conocidos. En la segunda etapa calculamos un estimador MM con alta eficiencia mediante el algoritmo de mínimos cuadrados pesados iterados usando como estimador inicial el estimador basado en proyecciones calculado en la primera etapa. Para estudiar la robustez y eficiencia de este estimador se realizó un estudio de Monte Carlo que muestra que el estimador propuesto se compara favorablemente con un estimador MM que usa como inicial un estimador de tipo S.
One of the main goals of Robust Statistics is to develop estimates which simultaneously are not very sensitive to small departures of the distribution of the observations or to outliers observations and highly efficient when the model is correct. This can be achieved by solving the problem of finding estimates which minimizes the asymptotic variance subject to the constrain that the maximum bias is smaller that a given bound. This approach was first proposed by Hampel (1974) who found an approximate solution for oneparameters models. Hampel’s solution simplifies the problem by replacing the maximum asymptotic bias by a linear infinitesimal approximation. After Hampel’s work, several authors extended this infinitesimal approach to more complex models, including regression. In this thesis we find the regression M-estimate that minimizes the asymptotic variance subject to the constrain that the maximum asymptotic bias (not its infinitesimal linear approximation) be smaller or equal than a given bound. This thesis is organized as follows: In Chapter 1 we describe the regression model and present the most important concepts to measure the degree of robustness and efficiency of an estimate. We also introduce several classes of robust estimates that will be used in this thesis and state its main properties. In Chapter 2, we solve a Hampel type problem for the regression model. We find the score function corresponding to the M-estimate which minimizes the maximum asymptotic bias subject to a bound on the asymptotic variance. The solution of this problem is compared with the approximate solution obtained by Yohai and Zamar (1997) based on an infinitesimal biased concept. Finally, in Chapter 3 we obtain a regression estimate which is simultaneously highly bias-robust and highly efficient under normal errors. This estimate is defined in two steps. In the first step we compute a projection estimate. This choice is due to the fact that this estimate is the most biasrobust among all the known estimates. In a second stage we compute a highly efficient MM-estimate by means of the iterated weighted least squares algorithm using as starting point the P-estimate computed in the first stage.
Fil: Svarc, Marcela. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.