Homotopía étale de un topos

• Autores: Data, Matías Ignacio
• Año de publicación: 2020
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Dubuc, Eduardo Julio
• Materia: HIPERCUBRIMIENTOS; PROYECCIONES CUBRIENTES; TIPO HOMOTOPICO ETALE; 2-PRO-OBJETO; GRUPOIDE FUNDAMENTAL DE UN TOPOS; HYPERCOVERS; COVERING PROJECTIONS; ETALE HOMOTOPY TYPE; 2-PRO-OBJECT; FUNDAMENTAL GROUPOID OF A TOPOS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis se extienden los invariantes homotópicos desarrollados por M. Artin y B. Mazur para topos localmente conexos al caso de un topos arbitrario. Dado un topos localmente conexo E –γ→ S [fórmula aproximada, revisar la misma en el original], Artin y Mazur definen el tipo homotópico étale πE que es un pro-objeto en la categoría homotópica de los conjuntos simpliciales H. La construcción consiste esencialmente en aplicarle el funtor de componentes conexas γ! al diagrama cofiltrante de los hipercubrimientos del topos salvo homotopía simplicial. Dado un punto S—p→E[fórmula aproximada, revisar la misma en el original] se obtienen pro-grupos de homotopía. Este invariante determina la cohomología con coeficientes constantes (grupo para n = 1, grupo abeliano para n > 1) del topos y permite calcularla como un colímite filtrante. Más aún en el caso de un topos punteado conexo y localmente conexo, el pro-grupo fundamental representa torsores. Debido a la ausencia del funtor de componentes conexas γ! en el caso general, se deben considerar todas las indexaciones simpliciales posibles de un hipercubrimiento como parte del pro-objeto. Esto nos lleva a estudiar las categorías de familias y familias simpliciales de un topos. Mediante esta última se logra definir un pro-objeto que es isomorfo en el caso localmente cone-xo al definido por Artin y Mazur. Se demuestra que en el caso general este invariante determina la cohomología con coeficientes constantes (grupo para n = 1, grupo abeliano para n > 1) del topos y se tiene una fórmula como un colímite filtrante. Luego se utiliza esta construcción para estudiar el Grupoide Fundamental del topos. Considerando a las homotopías entre morfismos de hipercubrimientos se construye un 2-pro-grupoide. Se demuestra que este 2-pro-grupoide determina la categoria de proyecciones cubrientes (definidas por E. J. Dubuc en The fundamental progroupoid of a general topos, JPAA 212) como un 2-colímite y que representa torsores, dando una nueva construcción del Grupoide Fundamental de un topos que generaliza el caso localmente conexo.
In this thesis we extend the homotopy invariants developed by M. Artin and B. Mazur for locally connected topoi to the case of an arbitrary topos. Given a locally connected topos E –γ→ S[fórmula aproximada, revisar la misma en el original], Artin and Mazur define the étale homotopy type Ver(E) which is a pro-object in the homotopy category of simplicial sets H. The construction consist essentially of applying the connected components functor γ! to the cofiltered diagram of hypercovers up to simplicial homotopy. Given a point S—p→E[fórmula aproximada, revisar la misma en el original] one gets homotopy pro-groups. This invariant determines the cohomology with constant coefficients (group for n = 1, abelian group for n > 1) of the topos, and gives a computation as a filtered colimit. Moreover, in the case of a pointed connected locally connected topos, the fundamental pro-group represents torsors. Due to the absence of the connected components functor γ! in the general case, we have to consider all posible simplicial indexations of a hypercover as part of the pro-object. This requires an study of the categories of families and simplicial families of a topos, through which we are able to define a pro-object that in the locally connected case is isomorphic to the one defined by Artin and Mazur. We prove that in the general case this invariant determines the cohomology with constant coefficients (group for n = 1, abelian group for n > 1) of the topos, and gives a computation as a filtered colimit. Then we use this construction to study the Fundamental Groupoid of the topos. Considering the homotopies between morphisms of hypercovers we construct a 2-pro-groupoid. We prove that this 2-pro-groupoid determines the category of covering projections (as defined by E. J. Dubuc in The fundamental progroupoid of a general topos, JPAA 212) as a 2-colimit and moreover represents torsors, which gives a new construction of the Fundamental Groupoid of a topos which generalizes the locally connected case.
Fil: Data, Matías Ignacio. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.