Homotopía étale de un topos - Data, Matías Ignacio (2020)
En esta tesis se extienden los invariantes homotópicos desarrollados por M. Artin y B. Mazur para topos localmente conexos al caso de un topos arbitrario. Dado un topos localmente conexo E –γ→ S [fórmula aproximada, revisar la misma en el original], Artin y Mazur definen el tipo homotópico étale πE que es un pro-objeto en la categoría homotópica de los conjuntos simpliciales H. La construcción consiste esencialmente en aplicarle el funtor de componentes conexas γ! al diagrama cofiltrante de los hipercubrimientos del topos salvo homotopía simplicial. Dado un punto S—p→E[fórmula aproximada, revisar la misma en el original] se obtienen pro-grupos de homotopía. Este invariante determina la cohomología con coeficientes constantes (grupo para n = 1, grupo abeliano para n > 1) del topos y permite calcularla como un colímite filtrante. Más aún en el caso de un topos punteado conexo y localmente conexo, el pro-grupo fundamental representa torsores. Debido a la ausencia del funtor de componentes conexas γ! en el caso general, se deben considerar todas las indexaciones simpliciales posibles de un hipercubrimiento como parte del pro-objeto. Esto nos lleva a estudiar las categorías de familias y familias simpliciales de un topos. Mediante esta última se logra definir un pro-objeto que es isomorfo en el caso localmente cone-xo al definido por Artin y Mazur. Se demuestra que en el caso general este invariante determina la cohomología con coeficientes constantes (grupo para n = 1, grupo abeliano para n > 1) del topos y se tiene una fórmula como un colímite filtrante. Luego se utiliza esta construcción para estudiar el Grupoide Fundamental del topos. Considerando a las homotopías entre morfismos de hipercubrimientos se construye un 2-pro-grupoide. Se demuestra que este 2-pro-grupoide determina la categoria de proyecciones cubrientes (definidas por E. J. Dubuc en The fundamental progroupoid of a general topos, JPAA 212) como un 2-colímite y que representa torsores, dando una nueva construcción del Grupoide Fundamental de un topos que generaliza el caso localmente conexo.