Aspectos homológicos de la teoría de especies

• Autores: Martin, Fernando Daniel
• Año de publicación: 2024
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Suárez-Álvarez, Mariano
• Materia: ESPECIES COMBINATORIAS; CATEGORIAS MONOIDALES; GRUPO DE PICARD; OPERADS; COMBINATORIAL SPECIES; MONOIDAL CATEGORIES; PICARD GROUP; OPERADS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis estudiamos aspectos homológicos de la categoría de especies combinatorias linealizadas — es decir, de la categoría de funtores Fin× → Fink que van de la categoría Fin× de los conjuntos finitos y biyecciones a la categoría Fink de los k-espacios vectoriales de dimensión finita y transformaciones lineales — y de la categoría de GL-especies, una variante de este concepto en la que reemplazamos el dominio de los funtores por la categoría Fin×F [fórmula aproximada, revisar la misma en el original] de los espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo finito F e isomorfismos lineales. Determinamos la estructura de álgebra de la cohomología de la GL-especie de banderas completas como bicomódulo sobre la GL-especie exponencial e y observamos que es isomorfa a la cohomología de la especie de órdenes lineales L como bicomódulo sobre la especie exponencial e. Consideramos también a la especie L como bicomódulo sobre sí misma, determinamos su primer módulo de cohomología y construimos una sucesión espectral que converge a su cohomología. Mostramos que la página 1 de esta sucesión espectral codifica algebraicamente la construcción de Salvetti de un complejo celular que tiene el tipo homotópico del complemento de la complejificación del arreglo de trenzas. Probamos que el grupo de Picard de la categoría de bicomódulos sobre una coálgebra c en especies linealizadas conexa es isomorfo al grupo de automorfismos exteriores de c, generalizando un resultado clásico que establece este hecho para la categoría de bicomódulos sobre una coálgebra sobre espacios vectoriales. Finalmente, estudiamos la homología operádica de Koszul H• a coeficientes triviales de un magma nilpotente en 2 pasos A y probamos que A es libre si y sólo si Hn(A) = 0 para algún n ≥ 2. Además, mostramos que en una gran variedad de casos Hn(A) queda completamente determinada por H1(A) y H2(A). Damos también una descripción explícita de un complejo que calcula la homología operádica a coeficientes triviales de un álgebra de Lie nilpotente en 2 pasos.
In this thesis we study homological aspects of the category of linearized combinatorial species — that is, of the category Fin× → Fink of functors going from the category Fin× of finite sets and bijections to the category Fink of finite-dimensional k-vector spaces and linear transformations — and the category of GL-species, a variation on this concept in which we replace the domain of the functors involved with the category Fin×F [approximate formula, verify it in the original] of finite-dimensional vector spaces over a finite field F and linear isomorphisms. We determine the algebra structure for the cohomology of the GL-species of complete flags regarded as a bicomodule over the exponential GL-species e and find it is isomorphic to the cohomology of the species L of linear orders regarded as a bicomodule over the exponential species e. We also consider the L-bicomodule structure of the species L: we determine its first cohomology module and construct a spectral sequence converging to its cohomology. We show that the first page of this spectral sequence encodes Salvetti’s construction for a cellular complex with the homotopy type of the complement of the complexification of the braid hyperplane arrangement. We prove that the Picard group of the category of bicomodules over a connected coalgebra c in the category of linearized species is isomorphic to the group of exterior automorphisms of c, generalizing a classical result that establishes this fact for the category of bicomodules over a coalgebra in the category of vector spaces. Finally, we study the Koszul operadic homology H• with trivial coefficients of a 2-step nilpotent magma A and prove that A is free if and only if Hn(A) vanishes for any n ≥ 2. Furthermore, we show that, in a wide variety of cases, Hn(A) is completely determined by H1(A) and H2(A). We also provide an explicit description of a complex which computes the operadic homology with trivial coefficients of a 2-step nilpotent Lie algebra.
Fil: Martin, Fernando Daniel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.