Aspectos homológicos de la teoría de especies - Martin, Fernando Daniel (2024)
En esta tesis estudiamos aspectos homológicos de la categoría de especies combinatorias linealizadas — es decir, de la categoría de funtores Fin× → Fink que van de la categoría Fin× de los conjuntos finitos y biyecciones a la categoría Fink de los k-espacios vectoriales de dimensión finita y transformaciones lineales — y de la categoría de GL-especies, una variante de este concepto en la que reemplazamos el dominio de los funtores por la categoría Fin×F [fórmula aproximada, revisar la misma en el original] de los espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo finito F e isomorfismos lineales. Determinamos la estructura de álgebra de la cohomología de la GL-especie de banderas completas como bicomódulo sobre la GL-especie exponencial e y observamos que es isomorfa a la cohomología de la especie de órdenes lineales L como bicomódulo sobre la especie exponencial e. Consideramos también a la especie L como bicomódulo sobre sí misma, determinamos su primer módulo de cohomología y construimos una sucesión espectral que converge a su cohomología. Mostramos que la página 1 de esta sucesión espectral codifica algebraicamente la construcción de Salvetti de un complejo celular que tiene el tipo homotópico del complemento de la complejificación del arreglo de trenzas. Probamos que el grupo de Picard de la categoría de bicomódulos sobre una coálgebra c en especies linealizadas conexa es isomorfo al grupo de automorfismos exteriores de c, generalizando un resultado clásico que establece este hecho para la categoría de bicomódulos sobre una coálgebra sobre espacios vectoriales. Finalmente, estudiamos la homología operádica de Koszul H• a coeficientes triviales de un magma nilpotente en 2 pasos A y probamos que A es libre si y sólo si Hn(A) = 0 para algún n ≥ 2. Además, mostramos que en una gran variedad de casos Hn(A) queda completamente determinada por H1(A) y H2(A). Damos también una descripción explícita de un complejo que calcula la homología operádica a coeficientes triviales de un álgebra de Lie nilpotente en 2 pasos.