Un análisis de la regularidad de funciones usando Wavelets.

• Autores: Rosenblatt, Mariel Analía
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Serrano, Eduardo Pedro; Molter, Úrsula María
• Materia: WAVELETS; SEÑALES; REGULARIDAD; ENTROPIA; FRONTERA 2-MICROLOCAL; WAVELETS; SIGNALS; REGULARITY; ENTROPY; 2-MICROLOCAL FRONTIER
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis estudiamos la regularidad local de funciones a valores reales mediante la transformada wavelet discreta, a fin de hacer una contribución en el procesamiento de señales. En una primera aproximación para analizar la regularidad de señales proponemos un nuevo cuantificador: la entropía wavelet leaders de una función f en x0. Este cuantificador computa la entropía de Shannon de una distribución de probabilidades discreta P x0 , la cual se construye a partir de los coeficientes wavelet leaders de la función f en x0, correspondientes a los primeros m niveles de resolución. Probamos que, para un nivel de resolución m, la entropía wavelet leaders puntual alcanza valores muy cercanos a su máximo valor cuando el exponente Hölder puntual toma valores próximos a cero, lo que indica que este cuantificador también detecta las singularidades de una función. Una de sus ventajas es que su cálculo se implementa fácilmente, por lo tanto resulta útil para analizar la dinámica de señales de diversos fenómenos naturales. Si bien el exponente Hölder puntual o la entropía wavelet leaders puntual distinguen singularidades, la información que aportan no es suficiente para distinguir singularidades tipo cúspide de singularidades oscilantes. A fin de dar una descripción completa del comportamiento singular de una función (o distribución) f en x0, Y. Meyer define la frontera 2-microlocal de f en x0, una curva decreciente y cóncava hacia abajo en R², que revela varios exponentes clásicos de regularidad y caracteriza completamente el tipo de singularidad que hay en x0. Esta curva se define mediante los espacios 2-microlocales, caracterizados vía la transformada wavelet por Y. Meyer y S. Jaffard. Una cuestión relevante es diseñar funciones prototipo con una estructura de singularidades predeterminada. En los trabajos de Y. Meyer, B Guiheneuf et al. y J. Lévy Véhel et al. se construyen funciones f cuya frontera 2-microlocal en x0 es una predeterminada curva S(σ). Estas funciones (o distribuciones) se definen en términos de sus coeficientes wavelet y son distintas en cada uno de los tres trabajos citados. En esta tesis generalizamos estos resultados determinando una fórmula genérica de los coeficientes wavelet de funciones (o distribuciones) cuya frontera 2-microlocal en x0 es S(σ), donde S(σ) es una función decreciente definida en R, que es o bien cóncava hacia abajo, tal que S‘’(σ) < 0 o bien es lineal. Nuestro resultado unifica los trabajos previos pues obtenemos una amplia familia de funciones (o distribuciones), con frontera 2-microlocal en x0 predeterminada, que además contiene a las tres funciones, construidas en los trabajos citados, como casos especiales. Además, en el caso en que S(σ) es lineal, encontramos un resultado más satisfactorio, pues probamos que la fórmula propuesta caracteriza en forma completa a las funciones o distribuciones cuya frontera 2-microlocal en x0 es la función lineal dada. [fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]
In this thesis we analyse local regularity of real-valued functions using the discrete wavelet transform, in order to do a contribution to the field of signal processing. As an initial approach to analyse the regularity of signals we propose a new quantifier: the pointwise wavelet leaders entropy of a function f at x0. This quantifier computes the Shannon entropy of a discrete probability distribution P x0, which is constructed using the wavelet leaders coefficients of the function f at x0, corresponding to the first m resolution levels. We prove that, for a resolution level m, the pointwise wavelet leaders entropy is close to its maximum whenever the pointwise Hölder exponent is close to zero proving that this quantifier also detects singularities. One of its advantages is that the calculation is implemented easily, therefore it is useful to analyse the dynamics of several signals from natural and social phenomena. While the pointwise Hölder exponent or the pointwise wavelet leaders entropy capture singularities, the information provided is not enough to distinguish cusps from oscillating type singularities. In order to give a complete description of the singular behaviour of a function (or distribution), Y. Meyer defines the 2-microlocal domain of f at x0, a decreasing and concave downward curve in R², which reveals several classic regularity exponents and completely characterizes the singularity type at x0. This curve is defined by means of the 2-microlocal spaces, which are characterized via the wavelet transform by Y. Meyer and S. Jaffard. It is also a relevant issue to design prototype functions with a predetermined singularity structure. In the works of Y. Meyer, B Guiheneuf et al. and J. Lévy Véhel et al., distributions or functions, with S(σ) as the predetermined 2-microlocal frontier at x0, are constructed by using wavelet coefficients. The distributions or functions are different in each of the three referenced works. In this thesis we generalize these results determining a generic formula for the wavelet coefficients of functions or distributions which have S(σ) as the prescribed 2-microlocal frontier at x0, where S(σ) is a decreasing function that is either concave downwards with S’’(σ) < 0 or linear. Our result unify the previous results, by obtaining a large class of functions (or distributions), with predetermined 2-microlocal frontier at x0, that includes the three constructions, proposed in the cited works, as special cases. Moreover, for the case that S(σ) is a line, we find a more satisfactory result because we prove that the generic formula completely characterizes all functions (or distributions) whose 2-microlocal frontier at x0 is the given line. [fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]
Fil: Rosenblatt, Mariel Analía. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.