Un análisis de la regularidad de funciones usando Wavelets. - Rosenblatt, Mariel Analía (2019)
En esta tesis estudiamos la regularidad local de funciones a valores reales mediante la transformada wavelet discreta, a fin de hacer una contribución en el procesamiento de señales. En una primera aproximación para analizar la regularidad de señales proponemos un nuevo cuantificador: la entropía wavelet leaders de una función f en x0. Este cuantificador computa la entropía de Shannon de una distribución de probabilidades discreta P x0 , la cual se construye a partir de los coeficientes wavelet leaders de la función f en x0, correspondientes a los primeros m niveles de resolución. Probamos que, para un nivel de resolución m, la entropía wavelet leaders puntual alcanza valores muy cercanos a su máximo valor cuando el exponente Hölder puntual toma valores próximos a cero, lo que indica que este cuantificador también detecta las singularidades de una función. Una de sus ventajas es que su cálculo se implementa fácilmente, por lo tanto resulta útil para analizar la dinámica de señales de diversos fenómenos naturales. Si bien el exponente Hölder puntual o la entropía wavelet leaders puntual distinguen singularidades, la información que aportan no es suficiente para distinguir singularidades tipo cúspide de singularidades oscilantes. A fin de dar una descripción completa del comportamiento singular de una función (o distribución) f en x0, Y. Meyer define la frontera 2-microlocal de f en x0, una curva decreciente y cóncava hacia abajo en R², que revela varios exponentes clásicos de regularidad y caracteriza completamente el tipo de singularidad que hay en x0. Esta curva se define mediante los espacios 2-microlocales, caracterizados vía la transformada wavelet por Y. Meyer y S. Jaffard. Una cuestión relevante es diseñar funciones prototipo con una estructura de singularidades predeterminada. En los trabajos de Y. Meyer, B Guiheneuf et al. y J. Lévy Véhel et al. se construyen funciones f cuya frontera 2-microlocal en x0 es una predeterminada curva S(σ). Estas funciones (o distribuciones) se definen en términos de sus coeficientes wavelet y son distintas en cada uno de los tres trabajos citados. En esta tesis generalizamos estos resultados determinando una fórmula genérica de los coeficientes wavelet de funciones (o distribuciones) cuya frontera 2-microlocal en x0 es S(σ), donde S(σ) es una función decreciente definida en R, que es o bien cóncava hacia abajo, tal que S‘’(σ) < 0 o bien es lineal. Nuestro resultado unifica los trabajos previos pues obtenemos una amplia familia de funciones (o distribuciones), con frontera 2-microlocal en x0 predeterminada, que además contiene a las tres funciones, construidas en los trabajos citados, como casos especiales. Además, en el caso en que S(σ) es lineal, encontramos un resultado más satisfactorio, pues probamos que la fórmula propuesta caracteriza en forma completa a las funciones o distribuciones cuya frontera 2-microlocal en x0 es la función lineal dada. [fórmulas aproximadas, revisar las mismas en el original]