Teoría de representaciones para dos familias de álgebras de Hopf punteadas

• Autores: Rodriguez, Alfio Antonio
• Año de publicación: 2025
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: García Iglesias, Agustín
• Materia: Pointed Hopf algebras; Representations; Álgebras de Hopf punteadas; Tipo de representación
• Institución: Universidad Nacional de Córdoba

Tesis (Doctor en Física)--Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2025.
Rodriguez, Alfio Antonio. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina.
Esta tesis tiene por objetivo detallar un estudio de la teoría de representaciones para dos familias de álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado y de característica cero. La misma está fundada sobre dos trabajos desarrollados durante la formación de doctorado. En el primer trabajo, se brinda una descripción de las representaciones irreducibles de una familia 2-paramétrica de álgebras de Hopf punteadas sobre un grupo (o una familia de grupos) no abelianos G(3,ℓ). Estas álgebras son deformaciones por cociclo de la bosonización del álgebra de Fomin-Kirillov FK3 de rango 3 con el álgebra de grupo kG(3,ℓ), para ℓ ≥ 1. También se calculan sus cubiertas proyectivas y su tipo de representación. Estos resultados generalizan resultados similares para deformaciones sobre el grupo simétrico S3. En el segundo trabajo, se clasifican las representaciones irreducibles de una familia de levantamientos H(λ), punteados y de dimensión finita, del álgebra de Nichols asociada al diagrama de tipo A2 con parámetro q = −1. Se muestra que estas álgebras tienen tipo de representación infinita. Se calculan familias infinitas de módulos indescomponibles y los productos tensoriales de los mismos en dimensiones bajas. Estos cálculos se aplican al estudio de la categoría semisimple Rep H(λ), que surge como cociente de la categoría Rep H(λ). En ambos casos se contrastan los resultados obtenidos con el tipo de cociclo involucrado en las deformaciones, observándose una relación empírica que consideramos puede ser de interés para investigaciones futuras.
The objective of this thesis is to undertake a detailed study of the representation theory of two families of finite-dimensional pointed Hopf algebras over an algebraically closed field k of characteristic zero. It is grounded in two research works developed during the course of the doctoral studies. The first work provides a description of the irreducible representations of a 2-parametric family of pointed Hopf algebras over a non-abelian group (or family of groups) G(3,ℓ). These algebras arise as cocycle deformations of the bosonization of the Fomin-Kirillov rank 3 algebra FK3 with the group algebra kG(3,ℓ), for ℓ ≥ 1. Moreover, their projective covers and representation type are computed. These results extend analogous results previously obtained for deformations over the symmetric group S3. The second work classifies the irreducible representations of a family of finite-dimensional pointed liftings H(λ) of the Nichols algebra associated with the Dynkin diagram of type A2, with parameter q = −1. It is shown that these algebras are of infinite representation type. Infinite families of indecomposable modules are worked out, and their tensor products in low dimensions are explicitly computed. These computations are then applied to the study of the semisimple category Rep H(λ), which arises as a quotient of the category Rep H(λ). In both cases, the results obtained are compared with the type of cocycle involved in the deformations, revealing an empirical relationship that we believe may be of interest for further investigation in the future.
Rodriguez, Alfio Antonio. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina.