Desarrollo y análisis de métodos de elementos finitos para la resolución numérica de problemas de Stokes-Darcy

• Autores: Stockdale, María Lorena
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Armentano, María Gabriela
• Materia: EL PROBLEMA DE STOKES-DARCY ACOPLADO; ELEMENTOS FINITOS MIXTOS; ANALISIS DE ESTABILIDAD; THE STOKES-DARCY COUPLED PROBLEM; MIXED FINITE ELEMENTS; STABILITY ANALYSIS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis desarrollamos y analizamos una aproximación unificada del par velocidad-presión para el problema de Stokes-Darcy acoplado, en un dominio bidimensional. El problema acoplado de Stokes-Darcy describe el movimiento de un fluido viscoso incompresible, modelado por la ecuación de Stokes, que fluye a través de una interfase a un medio poroso, modelado por la ecuación de Darcy, con condiciones de interfase dadas por la conservación de masa, el balance de fuerzas normales y la ley de Beavers-Joseph-Saffman. El desarrollo de métodos numéricos eficientes para aproximar la solución al problema de Stokes, al problema de Darcy y, en particular, al problema acoplado, ha ido en aumento en los últimos años debido a su importancia en hidrología, dinámica de fluidos y en diferentes problemas de filtración. Es sabido que, las aproximaciones por elementos finitos estables para el problema de Stokes pueden no ser apropiadas para el problema de Darcy (y por ende para el problema de Stokes-Darcy acoplado), siendo entonces un problema interesante la elección de espacios de elementos finitos adecuados para el problema acoplado. Con el objetivo entonces de obtener aproximaciones a la solución del modelo acoplado, haciendo uso de espacios de elementos finitos estables para el problema de Stokes, introdujimos una modificación en la formulación del problema de Darcy. En primer lugar asumimos que tanto el dominio como la interfase fueran poligonales y, gracias a la modificación introducida en la formulación del problema de Darcy, resolvimos el problema acoplado de Stokes-Darcy usando el clásico Mini-element. Demostramos que el método propuesto es incondicionalmente estable, tiene una precisión óptima con respecto a la regularidad de la solución y es de fácil implementación. Presentamos también experimentos numéricos que confirman la estabilidad y exactitud del método propuesto, el cual es probablemente uno de los m ́as sencillos para la aproximación unificada (y continua en cada una de las dos regiones) del sistema acoplado. Posteriormente realizamos el análisis y la resolución numérica, con el método de elementos finitos considerado anteriormente, del problema acoplado de Stokes-Darcy en dominios curvos usando triángulos curvos. El inter ́es de este enfoque reside en poder representar fehacientemente tanto el dominio como la interfase. Para este problema obtuvimos también, bajo apropiadas condiciones sobre el dominio en consideración, estimaciones de error de orden óptimo, extendiendo así los resultados obtenidos para el caso poligonal.
In this thesis we develop and analyze a unified approximation of the velocity-pressure pair for the Stokes-Darcy coupled problem, in a bidimensional domain. The Stokes-Darcy coupled problem describes the motion of an incompressible viscous fluid, modeled by the Stokes equation, which flows across an interface into a porous medium, modeled by the Darcy equation, with interface conditions given by mass conservation, the balance of normal forces and the Beavers-Joseph-Saffman condition. The development of efficient numerical methods to approximate the solution to the Stokes problem, to the Darcy problem and, in particular, the coupled problem, has been increasing in recent years due to its importance in hydrology, fluid dynamics and in different problems of filtration. It is well known that stable finite element approximations for the Stokes problem may not be appropriate for Darcy problem (and therefore for the Stokes-Darcy coupled problem), thus the choice of suitable finite element spaces is an interesting problem for the coupled problem. In order to obtain approximations to the solution of the coupled model, making use of stable finite element spaces for the Stokes problem, we introduced a modification in the formulation of the Darcy problem. First, we assumed that both the domain and the interface were polygonal and, thanks to the modification introduced in the formulation of the Darcy problem, we solved the Stokes-Darcy coupled problem using the classic Mini-element. We show that the proposed method is unconditionally stable, has optimal accuracy with respect to solution regularity and has simple and straightforward implementation. We also present numerical experiments that confirm the stability and accuracy of the proposed method, which is probably one of the simplest for the unified approach (and continues in each of the two regions) of the coupled system. Finally, we make the analysis and numerical resolution, with the finite element method considered above, of the Stokes-Darcy coupled problem in curved domains using curved triangles. The interest of this approach lies in being able to faithfully represent both the domain and the interface. For this problem we also obtained, under appropriate conditions on the domain under consideration, optimal order error estimates, thus extending the results obtained for the polygonal case.
Fil: Stockdale, María Lorena. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.