Desarrollo y análisis de métodos de elementos finitos para la resolución numérica de problemas de Stokes-Darcy - Stockdale, María Lorena (2019)
En esta tesis desarrollamos y analizamos una aproximación unificada del par velocidad-presión para el problema de Stokes-Darcy acoplado, en un dominio bidimensional. El problema acoplado de Stokes-Darcy describe el movimiento de un fluido viscoso incompresible, modelado por la ecuación de Stokes, que fluye a través de una interfase a un medio poroso, modelado por la ecuación de Darcy, con condiciones de interfase dadas por la conservación de masa, el balance de fuerzas normales y la ley de Beavers-Joseph-Saffman. El desarrollo de métodos numéricos eficientes para aproximar la solución al problema de Stokes, al problema de Darcy y, en particular, al problema acoplado, ha ido en aumento en los últimos años debido a su importancia en hidrología, dinámica de fluidos y en diferentes problemas de filtración. Es sabido que, las aproximaciones por elementos finitos estables para el problema de Stokes pueden no ser apropiadas para el problema de Darcy (y por ende para el problema de Stokes-Darcy acoplado), siendo entonces un problema interesante la elección de espacios de elementos finitos adecuados para el problema acoplado. Con el objetivo entonces de obtener aproximaciones a la solución del modelo acoplado, haciendo uso de espacios de elementos finitos estables para el problema de Stokes, introdujimos una modificación en la formulación del problema de Darcy. En primer lugar asumimos que tanto el dominio como la interfase fueran poligonales y, gracias a la modificación introducida en la formulación del problema de Darcy, resolvimos el problema acoplado de Stokes-Darcy usando el clásico Mini-element. Demostramos que el método propuesto es incondicionalmente estable, tiene una precisión óptima con respecto a la regularidad de la solución y es de fácil implementación. Presentamos también experimentos numéricos que confirman la estabilidad y exactitud del método propuesto, el cual es probablemente uno de los m ́as sencillos para la aproximación unificada (y continua en cada una de las dos regiones) del sistema acoplado. Posteriormente realizamos el análisis y la resolución numérica, con el método de elementos finitos considerado anteriormente, del problema acoplado de Stokes-Darcy en dominios curvos usando triángulos curvos. El inter ́es de este enfoque reside en poder representar fehacientemente tanto el dominio como la interfase. Para este problema obtuvimos también, bajo apropiadas condiciones sobre el dominio en consideración, estimaciones de error de orden óptimo, extendiendo así los resultados obtenidos para el caso poligonal.