Dimensión de Hausdorff y esquemas de representación de números

• Autores: Cesaratto, Eda
• Año de publicación: 2004
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Vallée, Brigitte
• Materia: DIMENSION DE HAUSDORFF; ESQUEMAS DE REPRESENTACION PARA NUMEROS REALES; OPERADORES DE TRANSFERENCIA; OPERADORES DE TRANSFERENCIA PONDERADOS; HAUSDORFF DIMENSION; REPRESENTATION SCHEMES FOR REAL NUMBERS; TRANSFER OPERATORS; WEIGHTED TRANSFER OPERATORS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Este trabajo es acerca de la dimensión de Hausdorff de conjuntos de números realesdados por restricciones no elementales sobre sus dígitos en sistemas de representación. Los esquemas de representación aquí considerados son aquellos asociados a un sistema dinámico ([0,1],T) donde T es una transformación analíticaa trozos fuertemente expansiva del intervalo. Nos hemos interesado en transformaciones con y sin memoria, por lo tanto las fracciones continuas están incluidos en el análisis. Los resultados principales se refieren a restricciones dobre los dígitos mi = mi(x),i ∈ N, x ∈ [0,1], del tipo Σ c(mix) ≤ Mn dónde c es una función positiva llamadacosto y M es un número real no-negativo. Los resultados obtenidos caracterizan la dimensión de Hausdorff como la raíz de unsistema de ecuaciones del tipo F(s,w,M) = 0, G(s,w,M) = 0 con 0 ≤ s ≤ 1,w < 0 y F,G funciones reales que dependen de T y c. Se utiliza esta caracterizaciónpara obtener estimaciones numéricas y fórmulas cerradas para la dimensión en algunos ejemplos. Las principales herramientas utilizadas son los operadores de transferencia y de transferencia ponderados. Los objetos espectrales dominantesde estos operadores juegan un papel central en el análisis.
In this work we deal with the Hausdorff dimension of sets of real numbers given bynon-elementary restrictions on their digits in a representation scheme. The representationschemes here considered are those attached to a dynamical system ([0,1],T) where Tis a piecewise analytic strongly expanding map of the interval. We are concernedabout maps with and without memory so continued fractions are included in the analysis. The main results are obtained when the restrictions on the digits mi = mi(x),i ∈ N, x ∈ [0,1], are of the type Σ c(mi(x)) ≤ Mn, where c is a positive costfunction of large growth and M is a non-negative real number. The results obtained characterizes the Hausdorff dimension as the root of anequation system of the type F(s,w,M) = 0, G(s,w,M) = 0 with 0 ≤ s ≤ 1, w < 0and F,G are real valued functions which depend on T and c. We apply the resultsin some examples in order to obtain numerical estimates and closed formulas formulasfor the dimension. The main tools involved are the transfer operator and theweighted transfer operator. Ther dominant spectral objects plays a central role inthe analysis.
Fil: Cesaratto, Eda. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.