Estimaciones y resultados de existencia de puntos racionales de variedades singulares sobre cuerpos finitos y aplicaciones - Privitelli, Melina Lorena (2014)
El primer objetivo de esta tesis es proporcionar estimaciones y resultados de existenciade puntos racionales de intersecciones completas singulares definidas sobre elcuerpo finito Fq. Nuestros resultados se basan en la obtención de nuevas versionesefectivas del segundo teorema de Bertini que garantizan la existencia de seccioneslineales no singulares de una variedad singular, definidas sobre Fq. Así, aplicando laconocida estimación de P. Deligne para variedades no singulares, obtenemos estimacionesy resultados de existencia para intersecciones completas cuyo lugar singulartiene codimensión al menos dos o tres. Dichas estimaciones se expresan en términosde la dimensión del lugar singular, el grado y la dimensión de la variedad. Además,proporcionamos una versión explícita de la estimación de Hooley para variedadessingulares. En la segunda parte de este trabajo aplicamos nuestras estimaciones a dos problemasconcretos de teoría de códigos y combinatoria. En ambos casos las variedadesinvolucradas son intersecciones completas simétricas, es decir, están definidas porpolinomios invariantes bajo la acción del grupo de permutaciones de sus coordenadas. Es por esto que, en primer lugar, estudiamos las propiedades geométricas dedichas variedades, más concretamente la dimensión del lugar singular de las mismas. El problema de teoría de códigos que abordamos es el de determinar la existencia dedeep holes en un código de Reed-Solomon estándar. En lo que respecta a problemasde combinatoria, analizamos el comportamiento del valor promedio del conjunto devalores (o “value set”) de ciertas familias de polinomios definidas sobre Fq[T]. Enambos casos, mejoramos los resultados existentes en la literatura.