Mallas adaptadas para la aproximación numérica de problemas singularmente perturbados

• Autores: Prieto, Mariana Inés
• Año de publicación: 2013
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Durán, Ricardo Guillermo; Lombardi, Ariel Luis
• Materia: ELEMENTOS FINITOS; MALLAS GRADUADAS; CONVECCION-DIFUSION; REACCION-DIFUSION; SUPERCONVERGENCIA; SUPERCERCANIA; ESTIMADORES DE ERROR A POSTERIORI; FINITE ELEMENTS; GRADED MESHES; CONVECTION-DIFFUSION; REACTION-DIFFUSION; SUPERCONVERGENCE; SUPERCLOSENESS; A POSTERIORI ERROR ESTIMATES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis se analiza la aproximación numérica de problemas singularmente perturbados de reacción–difusión, con y sin convección. En primer lugar, consideramos la aproximación por elementos finitos bilineales utilizando mallas adaptadas a priori para problemas modelos. En este caso, obtenemos resultados de superconvergencia, es decir, la diferencia entre la solución dada por el método de elementos finitos y la interpolada de Lagrange de la solución exacta es de mayor orden que el error numérico, en una norma apropiada. Las estimaciones obtenidas son casi óptimas respecto al orden en función del número de nodos N, y con constantes que dependen débilmente del parámetro de perturbación ε. Es decir, salvo factores logarítmicos, las constantes son independientes de ε y el orden es el mismo que se obtiene utilizando mallas uniformes en problemas con soluciones suaves. Como consecuencia de estos resultados, obtenemos estimaciones casi óptimas del error en norma L2, mejorando de estamanera resultados conocidos anteriormente. Para problemas más generales, para obtener mallas adaptadas adecuadamente es necesario usar estimadores a posteriori. En la última parte de esta tesis, construimos y analizamos este tipo de estimador de error para un problema de convección-reacción-difusión y presentamos unmétodo de refinamiento anisotrópico basado en este estimador de error a posteriori.
In this thesis we analyze the numerical approximation of singularly perturbed problems of reaction-diffusion, with and without convection term. First, we consider the standard bilinear finite element approximation with a priori adapted meshes for model problems. In this case, we obtain superconvergence results, that is, that the difference between the finite element solution and the Lagrange interpolation of the exact solution, is of higher order than the error itself in an appropriate norm. The obtained estimates are almost optimal respect to the order in terms of the number of nodes N and with constants which depend weakly on the singular perturbation parameter ε. That is, up to logarithmic factors the constants are independent of ε and the order is the same as that for obtained for problems with smooths solutions using uniform meshes. As a consequence of these results, we obtain almost optimal error estimates in the L2-norm improving in this ways previously known results. For more general problems, to obtain appropriate adapted meshes it is necessary to use a posteriori error estimators. In the last part of this thesis, we construct and analyze this kind of error estimators for a convection-reaction–diffusion problem. Also we present an anisotropic adaptive refinement method based on a posteriori error estimator.
Fil: Prieto, Mariana Inés. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.