Análisis de problemas anisotrópicos no locales y aplicaciones variacionales

• Autores: Ceresa Dussel, Juan Ignacio
• Año de publicación: 2025
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Fernández Bonder, Julián
• Materia: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES ELIPTICAS; OPERADORES ANISOTROPICOS; VALORES PROPIOS; OPTIMIZACION DE DOMINIOS; PROBLEMAS NO LOCALES; ESPACIOS DE SOBOLEV FRACCIONARIOS; PROBLEMAS VARIACIONALES; ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS; ANISOTROPIC OPERATORS; EIGENVALUES; DOMAIN OPTIMIZATION; NONLOCAL PROBLEMS; FRACTIONAL SOBOLEV SPACES; VARIATIONAL PROBLEMS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis doctoral, nos hemos centrado en trabajar con problemas elípticos anisotrópicos. Lo primero que desarrollamos son los espacios de Sobolev anisotrópicos, tanto locales como no locales, a partir de los cuales construiremos toda nuestra teoría. Dentro de este marco, una piedra angular de nuestro trabajo es el estudio del comportamiento asintótico en la transición desde los casos no locales o fraccionarios hasta el caso local. A continuación, presentamos nuestro operador, una variante del p-Laplaciano fraccionario, y estudiamos diversos problemas clásicos relacionados con él, como el problema de Dirichlet cuando el término fuente es lineal o semilineal, así como el caso en el que consideramos ground state solutions, centrándonos principalmente en el comportamiento asintótico de las soluciones. Posteriormente, en esta tesis nos enfocamos en resolver un problema de autovalores adecuado para este tipo de operadores. Sin embargo, debido a su falta de homogeneidad, modificamos el operador para obtener una versión homogénea que preserve los comportamientos previamente estudiados. Así, tras demostrar la existencia de autovalores en los casos local y no local, utilizando principalmente la teoría de Lusternik-Schnirelmann, analizamos su comportamiento asintótico. Finalmente, en el último trabajo de esta tesis, nos centramos en problemas de optimización de dominio, en los cuales la función costo está relacionada con nuestro operador. Comenzamos estudiando el caso isotrópico, luego analizamos el comportamiento asintótico de las soluciones cuando los parámetros fraccionarios tienden a uno, y finalmente generalizamos el análisis al caso anisotrópico. Esta tesis tiene como eje central 3 artículos ya publicados y uno enviado para publicación. Ceresa Dussel, Ignacio and Fernández Bonder, Julián, A Bourgain-Brezis-Mironescu formula for anisotropic fractional Sobolev spaces and applications to anisotropic fractional differential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2023.[16] Ceresa Dussel, Ignacio and Fernández Bonder, Julián, Existence of eigenvalues for anisotropic and fractional anisotropic problems via Lusternik-Schnirelmann theory, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 2024.[15] Ceresa Dussel, Ignacio, Shape optimization problems involving nonlocal and nonlinear operators, Journal of Elliptic and Parabolic Equations, 2025.[14] Sabri Bahrouni, Julián Fernández Bonder, Ignacio Ceresa Dussel, Olimpio Miyagaki, Peridynamics and anisotropic fractional Sobolev spaces with variable exponents, 2025.[3]
In this doctoral thesis, we focus on anisotropic elliptic problems. The first step is the development of anisotropic Sobolev spaces, both local and nonlocal, which serve as the foundation for the entire theoretical framework. Within this setting, a cornerstone of our work is the study of the asymptotic behavior during the transition from nonlocal or fractional cases to the local case. Next, we introduce our operator, a variant of the fractional p-Laplacian, and we study several classical problems related to it, such as the Dirichlet problem when the source term is linear or semilinear, as well as the case involving ground state solutions, with a primary focus on the asymptotic behavior of solutions. Subsequently, this thesis addresses an eigenvalue problem tailored to this type of operator. However, due to the lack of homogeneity of the original operator, we construct a homogeneous version that preserves the previously studied behaviors. Thus, after proving the existence of eigenvalues in both the local and nonlocal cases—mainly using Lusternik-Schnirelmann theory—we analyze their asymptotic behavior. Finally, in the last part of this thesis, we study domain optimization problems, in which the cost function is related to our operator. We begin by analyzing the isotropic case, then study the asymptotic behavior of solutions as the fractional parameters tend to one, and finally extend the analysis to the anisotropic case. This thesis is based on three already published articles and one submitted for publication: Ceresa Dussel, Ignacio and Fernández Bonder, Julián, A Bourgain–Brezis–Mironescu formula for anisotropic fractional Sobolev spaces and applications to anisotropic fractional differential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2023.[16] Ceresa Dussel, Ignacio and Fernández Bonder, Julián, Existence of eigenvalues for anisotropic and fractional anisotropic problems via Lusternik-Schnirelmann theory, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 2024.[15] Ceresa Dussel, Ignacio, Shape optimization problems involving nonlocal and nonlinear operators, Journal of Elliptic and Parabolic Equations, 2025.[14] Sabri Bahrouni, Julián Fernández Bonder, Ignacio Ceresa Dussel, Olimpio Miyagaki, Peridynamics and anisotropic fractional Sobolev spaces with variable exponents, 2025.[3]
Fil: Ceresa Dussel, Juan Ignacio. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.