Acerca del rango y propiedades topológicas de algunos operadores no lineales

• Autores: Kuna, Mariel Paula
• Año de publicación: 2016
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Amster, Pablo Gustavo
• Materia: PROBLEMAS DE CONTORNO NO LINEALES; SOLUCIONES PERIODICAS; METODOS VARIACIONALES; METODOS TOPOLOGICOS; ECUACIONES ELIPTICAS SEMILINEALES; NONLINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS; PERIODIC SOLUTIONS; VARIATIONAL METHODS; TOPOLOGICAL AND MONOTONICITY METHODS; SEMILINEAR ELLIPTIC EQUATIONS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Estudiamos el siguiente tipo de problemas de segundo orden:u"= g(x,u) + p(x) x ∈ 2 (a,b)⊂R,where g ∈ C([a,b] X R^N,R^N). El objetivo principal de esta tesis es estudiar, bajo distintas condiciones de contorno, qué funciones p ∈ L^2((a,b),R^N) garantizan la existenciade solución. Donde la definición de solución sería dada en cada caso. En otras palabras, analizamos la imagen del operador semilineal S(u) := u"-g(x,u), considerado como un operador continuo de H ⊂ H^2((a,b),R^N) to L^2((a,b),R^N), donde H es un subespacio cerrado que depende de lascondiciones de contorno. En primer lugar, estudiamos problemas resonantes bajo condiciones periódicas, que generalizan, por un lado, la ecuación del péndulo forzado y, por otro, las condiciones de Landesman-Lazer. Consideramos el casovariacional S(u) = u"-∇G(u), para el cual logramos caracterizar Im(S)y dar algunas de sus propiedades topológicas. En segundo lugar, estudiamos problemas con condiciones de contornode radiación, es decir,u'(0) = a0u(0), u'(1) = a1u(1),con a0,a1 > 0. Encontramos una condición de Hartman generalizadaque garantiza existencia de solución. En particular, si g es superlineal,probamos que el operador S es suryectivo. Para este caso, estudiamos también condiciones necesarias y suficientes para la unicidad o multiplicidad de soluciones. Logramos obtener resultados más precisos para elcaso N = 1 empleando métodos topológicos y variacionales y Teoremade la Función Implícita.
We study the following type of second order problems:u"= g(x,u) + p(x) x ∈ 2 (a,b)⊂R,where g ∈ C([a,b] X R^N,R^N). The thesis is devoted to the following problem: which functions p ∈ L^2((a,b),R^N) guarantee the existence of solution under different boundaryconditions? Where, in each case, the definition of solution will begiven. In other words, we try to characterize and prove different propertiesof the range of the semilinear operator S(u) := u"-g(x,u), regarded asa continuous function from H ⊂ H^2((a,b),R^N) to L^2((a,b),R^N), where H is a closed subspace depending on the boundary conditions. Firstly, we study resonant periodic problems that generalize, on theone hand, the forced pendulum equation and, on the other hand, the Landesman-Lazer conditions. For the variational case S(u) = u"-∇G(u)we give a characterization of the set Im(S) and prove some of its topologicalproperties. Secondly, we consider the so-called radiation boundary conditions,namelyu'(0) = a0u(0), u'(1) = a1u(1),with a0,a1 > 0. We obtain a generalized Hartman condition that ensuresthe existence of solution. In particular, if g is a superlinear function, weprove that S is onto. For this case, we study sufficient and necessaryconditions for uniqueness or multiplicity of solutions. More accurateresults are obtained for the scalar case N = 1, using variational andtopological methods and Implicit Function Theorem.
Fil: Kuna, Mariel Paula. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.