Secuencias maravillosas anidadas

• Autores: Frizzo, Franco
• Año de publicación: 2020
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis de grado
• Colaborador/a o director/a de tesis: Becher, Verónica Andrea
• Materia: COMBINATORIA DE PALABRAS; SECUENCIAS MARAVILLOSAS ANIDADAS; SECUENCIAS DE DEBRUIJN; NUMEROS NORMALES; BAJA DISCREPANCIA; COMBINATORICS ON WORDS; NESTED MARVELLOUS SEQUENCES; DE BRUIJN SEQUENCES; NORMAL NUMBERS; LOW DISCREPANCY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Consideremos un alfabeto de b símbolos; las secuencias maravillosas de orden (n, m) son secuencias de símbolos tomados de este alfabeto tales que, al ser miradas circularmente, todas las secuencias de longitud n aparecen exactamente m veces. Las secuencias maravillosas anidadas de orden (n, m) son secuencias maravillosas que son a su vez la concatenación de b secuencias maravillosas anidadas de orden (n − 1, m), salvo que n = 1. Se sabe que siempre que n es menor o igual que m existen las secuencias maravillosas anidadas que cumplen que todas las secuencias de longitud n ocurren en distintas posiciones módulo m. ¿Es necesaria esta condición? Dicho de otro modo, ¿aparecen nuevas secuencias maravillosas anidadas de orden (n, m) si se elimina la restricción de que las ocurrencias sean en distintas posiciones módulo m? En esta tesis demostramos que para toda pareja n, m con m exponencial con respecto a n la respuesta es afirmativa, y presentamos un método de construcción. Además, demostramos que si n es mayor que 2m no existen tales secuencias. Conjeturamos que, para todo n menor o igual que m + 1, las secuencias existen y presentamos algunos ejemplos.Por último, demostramos que utilizando secuencias maravillosas anidadas se puede construir números normales —en el sentido de Borel— que convergen a la normalidad con la máxima velocidad conocida hasta ahora.
Consider an alphabet of b symbols; a marvellous sequence of order (n, m) is a sequence of symbols from this alphabet such that, when looked at in a circular fashion, every possible word of length n appears exactly m times. Nested marvellous sequences of order (n, m) are marvellous sequences that are also the concatenation of b nested marvellous sequences of order (n − 1, m), unless n = 1. It is known that, whenever n is less that or equal to m, there are marvellous sequences for which every occurence of a word of length n is in a different position modulo m. Is this condition necessary? In other words, are there any new nested marvellous sequences of order (n, m) that only arise if the restriction that the occurences are in different positions modulo m is lifted? In this thesis we prove that for every pair n, m with m exponential in n the answer is affirmative, and present a constructive method. Also, we show that it if n is greater than 2m there are no such sequences. We conjecture that sequences exist for every n less than or equal to m + 1, and we give several examples. Finally, we prove that nested marvellous sequences can be used to construct normal numbers —in the Borel sense— that converge to normality at the fastest rate hitherto known.
Fil: Frizzo, Franco. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.