Very fast normal numbers

• Autores: Gauna, Pablo
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis de grado
• Colaborador/a o director/a de tesis: Becher, Verónica Andrea
• Materia: NORMALIDAD; NUMEROS NORMALES; DISCREPANCIA; ARBOL STERN BROCOT; NORMALITY; NORMAL NUMBERS; DISCREPANCY; STERN BROCOT TREE
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Normalidad es la forma más básica de aleatoriedad para números reales. Un número real x es normal en base 2 si en la expansión binaria de x el dígito 0 ocurre, en el límite, con la misma frecuencia que el dígito 1, y todos los bloques de dígitos del mismo tamaño ocurren con la misma frecuencia. A pesar de que casi todos los números reales son normales en base 2, algunos convergen a la normalidad más rápido que otros. Sigue abierta la pregunta de cuál es la velocidad de convergencia a la normalidad más rápida posible para un número real x. Esta pregunta equivale a determinar cuál es la mínima discrepancia que puede ser alcanzada por la secuencia paramétrica de la forma (2nx mod 1)n>0, para un número real x. Los mejores resultados hasta ahora para este problema fueron dados por Mordechay Levin en 1999 quien define constructivamente dos n´umeros reales x e y, tales que la discrepancia de los primeros N términos de la secuencia (2nx mod 1)n>0 es del orden de (log N) 2/N, y la discrepancia de los primeros N términos de la secuencia (2ny mod 1)n>0 es del orden (log N) 3/N. En este trabajo nos centramos en la construcción de Levin para el número real y, y probamos que en cada paso de la construcción hay al menos 4 opciones. La prueba está basada en caminos del árbol Stern-Brocot. Conjeturamos que la construcción para y es tal que la discrepancia de los primeros N términos de la secuencia (2ny mod 1)n>0 se encuentra en el orden de (log N) 2/N.
Normality is the most basic form of randomness for real numbers. A real number x is normal to base 2 if in the binary expansion of x the digit 0 occurs with the same limiting frequency as the digit 1, and all blocks of digits of the same length occur with the same limiting frequency. Although almost all real numbers are normal to base 2, some converge to normality faster than others. There is a longstanding open problem about what is the fastest possible speed of convergence to normality for a real number x. This is equivalent to asking for the minimal discrepancy that can be achieved by the parametric sequence of the form (2nx mod 1)n>0, for a real number x. The best results for this problem are due to Mordechay Levin in 1999 who defined constructively two real numbers, x and y, satisfying that the discrepancy of the first N terms of the sequence (2nx mod 1)n>0 and (2ny mod 1)n>0 are, respectively, in the order of (log N) 2/N and (log N) 3/N. In this work we consider Levin’s construction for the real number y, and we prove that at each step of the construction there are at least four choices. The proof is based on paths in the Stern-Brocot tree. We conjecture that the construction yields a number y such that the discrepancy of the first N terms of the sequence (2ny mod 1)n>0 is in the order of (log N) 2/N.
Fil: Gauna, Pablo. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.