Una teoría de 2-pro-objetos, una teoría de 2-categorías de 2-modelos y la estructura de 2-modelos para 2-Pro (C)

• Autores: Descotte, María Emilia
• Año de publicación: 2015
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Dubuc, Eduardo Julio
• Materia: 2-PRO-OBJETO; 2-FILTRANTE; PSEUDO-LIMITE; BI-LIMITE; 2-CONFINAL; 2-CATEGORIA DE 2-MODELOS; 2-PRO-OBJECT; 2-FILTERED; PSEUDO-LIMIT; BI-LIMIT; 2-CONFINAL; 2-MODEL 2-CATEGORY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En los 60, Grothendieck desarrolla la teoría de pro-objetos de una categoría. La propiedad fundamental de Pro(C) es que se tiene un embedding C→Pro(C), Pro(C)tiene límites cofiltrantes peque˜nos, y estos son libres en el sentido de que para cualquierotra categoría E con límites cofiltrantes peque˜nos, la precomposición con c determina unaequivalencia de categorías Cat(Pro(C); E)+ ≈ Cat(C; E), (el “+” indica la subcategoríaplena formada por los funtores que preservan límites cofiltrantes). En este trabajo, desarrollamos la teoría de pro-objetos “2-dimensional”. Dada una 2-categoría C, definimos la 2-categoría 2-Pro(C) cuyos objetos llamamos 2-pro-objetos. Probamos que 2-Pro(C) tiene todas las propiedades b´asicas esperadas relativizadas adecuadamenteal caso 2-categórico, incluyendo la propiedad universal correspondiente. Damos una definición de “closed 2-model 2-category” adecuada y demostraciones desus propiedades básicas. Dejamos para un trabajo futuro la construcción de su categoríahomotópica. Finalmente, probamos que nuestra 2-categoría 2-Pro(C) tiene una estructurade “closed 2-model 2-category” si C la tiene. Parte de la motivación de este trabajo fue desarrollar un contexto teórico para manipularel nervio de Čech en teoría de homotopía, [3], en particular en teoría de la forma fuerte, [23]. El nervio de Čech está indexado por las categorías de cubrimientos e hipercubrimientoscon morfismos dados por los refinamientos, que no son categorías filtrantes pero sídeterminan 2-categorías 2-filtrantes en las cuales el nervio de Čech también está definido,manda las 2-celdas en homotopías, y determina un 2-pro-objeto sobre los conjuntos simpliciales. Usualmente, el nervio de Čech debe ser considerado como un 2-pro-objeto en lacategoría homotópica, perdiendo la información codificada en las homotopías explícitas.
In the sixties, Grothendieck developed the theory of pro-objects over acategory. The fundamental property of the category Pro(C) is that there is an embedding C→Pro(C), Pro(C) is closed under small cofiltered limits, and these are free in thesense that for any category E closed under small cofiltered limits, pre-composition with cdetermines an equivalence of categories Cat(Pro(C); E)+ ≈ Cat(C; E), (the “+” indicatesthe full subcategory of the functors that preserve cofiltered limits). In this work we develop a “2-dimensional” pro-object theory. Given a 2-category C,we define the 2-category 2-Pro(C) whose objects we call 2-pro-objects. We prove that 2-Pro(C) has all the expected basic properties adequately relativized to the 2-categoricalsetting, including the corresponding universal property. We give an adecuate definitionof closed 2-model 2-category and demonstrations of its basic properties. We leave fora future work the construction of its homotpy 2-category. Finally, we prove that our 2-category 2-Pro(C) has a closed 2-model 2-category structure provided that C has one. Part of the motivation of this work was to develop a conceptual framework to handlethe Čech nerve in homotopy theory, [3], in particular in strong shape theory, [23]. The Čech nerve is indexed by the categories of covers and of hypercovers, with coverrefinments as morphisms, which are not filtered categories, but determine 2-filtered 2-categories on which the Čech nerve is also defined, sends 2-cells into homotopies, anddetermines a 2-pro-object of simplicial sets. Usually, the Čech nerve has to be consideredas a pro-object in the homotopy category, loosing the information encoded in the explicithomotopies.
Fil: Descotte, María Emilia. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.