Disipación en el movimiento Browniano cuántico

• Autores: Gaioli, Fabián Horacio
• Año de publicación: 1997
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Castagnino, Mario Alberto
• Materia: DISIPACIÓN; MOVIMIENTO BROWNIANO CUANTICO; PROCESOS IRREVERSIBLES; PROCESOS ESTOCASTICOS; SISTEMAS CUANTICOS INESTABLES; ECUACION DE LANGEVIN; ECUACIONES MAESTRAS; MODELO DE FRIEDRICHS; ASIMETRIA TEMPORAL; RECURRENCIAS EN SISTEMAS FINITOS; DISSIPATION; QUANTUM BROWNIAN MOTION; IRREVERSIBLE PROCESSES; STOCHASTIC PROCESSES; UNSTABLE QUANTUM SYSTEMS; LANGEVIN ECUATION; MASTER EQUATIONS; FRIEDRICHS MODEL; TIME ASYMMETRY; RECURRENCES IN FINITE SYSTEMS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis discutimos el problema de la disipación y la evolución al equilibrio enel movimiento Browniano cuántico en el marco del formalismo de la segunda cuantización. Consideramos un modelo cuyo Hamiltoniano es bilineal en los operadores decreación y aniquilación, que puede reinterpretarse como el correspondiente a un conjuntode osciladores acoplados. Derivamos una ecuación exacta, completamente equivalente alas ecuaciones de Heisenberg, para los valores medios de los operadores número de ocupación,que tiene el aspecto de una ecuación maestra. En general, los coeficientes de dichaecuación no son simétricos y dependen del tiempo, pero pueden ser interpretados como lasprobabilidades de transición por unidad de tiempo en la aproximación de segundo ordenen la constante de acoplamiento. Los gráficos correspondientes a una solución numéricaexacta permiten visualizar el rango de validez de dicha aproximación. Identificando unode los osciladores como la partícula Browniana, lo que luego cobrará sentido medianteuna elección adecuada de los parámetros del modelo, obtenemos una ecuación exacta,completamente equivalente a la ecuación de Heisenberg, para el operador posición. Dichaecuación tiene la forma de la ecuación de Langevin pero nuevamente sus coeficientes dependenexplícitamente del tiempo. Sin embargo, los mismos pueden identificarse con lafrecuencia renormalizada y el factor de amortiguamiento luego de efectuada la aproximaciónde segundo orden. Para el caso particular en el que los osciladores que componenel reservorio no interactúan entre sí, resolvemos exactamente el modelo para un tipo deacoplamiento conocido como aproximación de onda rotante, diagonalizando el Hamiltonianoen el sector de un cuanto. Estudiamos primero el caso de un baño finito, que luegollevamos a un conjunto denso efecutando el límite continuo del modelo discreto. Parael modelo finito obtenemos un comportamiento “prácticamente” irreversible como consecuenciade las escalas temporales involucradas, en las cuales se manifiestan la presenciade fluctuaciones, el proceso de relajación y los períodos de recurrencia. En el caso continuoestablecemos una relación entre el comportamiento termodinámico del conjunto deosciladores y la teoría del estado cuántico inestable. Relacionamos los efectos de bajastemperaturas para la población media del oscilador Browniano con el apartamiento de laley de decaimiento puramente exponencial para largos tiempos (efecto Khalfin). Finalmentemostramos como un comportamiento de tipo estocástico puede ser asociado con laevolución asintótica del sistema, analizando las funciones de autocorrelación y obteniendola relación de fluctuación-disipación.
In this thesis we discuss the dissipation problem and the evolution towards equilibriumin quantum Brownian motion, in the framework of a second quantized formalism. We willconsider a model in which the Hamiltonian is bilinear in the creation and annihilationoperators so that it can be reinterpreted as a set of linearly coupled harmonic oscillators. We derive an exact equation, completely equivalent to the Heisenberg equations, for themean values of the occupation number operators, which looks like a master equation. Ingeneral, the coefficients are non-symmetric and time-dependent. However, they can beinterpreted as transition probabilities per unit time when the second order approximationin the coupling constant is taken. The figures corresponding to an exact solutionallow us to visualize the range in which the second order solution fits the former. Weidentify one of the oscillators as a Brownian particle (it will later make sense throughthe adequate choice of parameters of the model) in order to obtain an exact equationfor the position operator. Such an equation, equivalent to the Heisenberg one, has theform of the Langevin equation with time-dependent coefficients. These coefficients canbe identified with the renormalized frequency and the damping factor once the secondorder approximation is made. For the particular case where the oscillators, which makeup the reservoir, do not interact among themselves, we solve exactly the model for a kindof coupling known as rotating wave approximation, diagonalizing the Hamiltonian in theone-quantum sector. First, we study the case of a finite bath and then we put it intoa dense set, taking the continuous limit of the discrete model. For the finite model weobtain “in practice” an irreversible behavior as a consequence of the time scales involved,in which we have fluctuations, a relaxation process, and recurrence periods. In the continuouscase, we establish a relation between the thermodynamic behavior of the set ofoscillators and the theory of an unstable quantum state. We relate the low-temperatureeffects for the mean population of the Brownian oscillator with the deviations of the purelyexponential decay law for long times (Khalfin effect). Finally, we show how to associate abehavior of an stochastic type with the asymptotic evolution of the system, by analyzingthe autocorrelation functions and by obtaining the fluctuation-dissipation relation.
Fil: Gaioli, Fabián Horacio. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.