Correspondencia de Dold-Kan para anillos

• Autores: Castiglioni, José Luis
• Año de publicación: 2003
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cortiñas, Guillermo Horacio
• Materia: FORMAS DIFERENCIALES NO COMMUTATIVAS; ANILLOS COSIMPLICIALES; CATEGORIA DE MODELOS; NONCOMMUTATIVE DIFFERENTIAL FORMS; COSIMPLICIAL RINGS; MODEL CATEGORY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

La correspondencia (dual) de Dold-Kan establece que hay una equivalencia de categorías K : Ch≥o —>UbΔ entre los complejos de cocadenas no negativamente graduados y los grupos abelianos cosimpliciales, que es inverso del funtor normalización. Mostramos que la restricción de K a DGR*, la categoría de anillos diferenciales graduados con diferencial de grado +1, o anillos diferenciales de cocadenas, se puede equipar con un producto asociativo, y que el funtor resultante DGR* —> RingsΔ, si bien no es una equivalencia, induce una a nivel de categorías de homotopía. Es decir, tanto DGR* como RingsΔ son categorías de modelo cerrado de Quillen y el funtor derivado total a izquierda de K es una equivalencia: LK : HoDGR* → Ho RingsΔ El dual de este resultado para anillos diferenciales de cadenas y anillos simpliciales fue obtenido, de forma independiente, por S. Schwede and B. Shipley mediante métodos diferentes (Equivalences of monoidal model categories. Algebraic and Geometric Topology 3 (2003), 287-334). Nuestra demostración está basada en un funtor Q : DGR* → RingsΔ, naturalmente homotópicamente equivalente a K, y que preserva la estructura de modelo cerrado. Este funtor tiene otras aplicaciones interesantes. Por ejemplo, usamos Q para probar una versión no conmutativa de los teoremas de Hochschild-Konstant-Rosenberg y Loday-Quillen. Nuestra versión se aplica al módulo cíclico [n]→ ЦnR S que se obtiene a partir de un homomorfismo de anillos no necesariamente conmutativos R → S, usando el coproducto ЦR. También como aplicación de las propiedades de Q obtenemos una descripción sencilla, que no involucra trenzas, de un producto en la potencia tensorial SxR, definido originalmente por P. Nuss, utilizando trenzas (Noncommutative descent and non abelian cohomology, K-theory 12 (1997) 23-74.).
The (dual) Dold-Kan correspondence says that there is an equivalence of categories K : Ch≥o —>UbΔ between non negatively graded cochain complexes and cosimplicial abelian groups, which is inverse to the normalization functor. We show that the restriction of K to DG-rings can be equipped with an associative product and that the resulting functor DGR* —> RingsΔ, although not itself an equivalence, does induce one at the level of homotopy categories. In other words both DGR* and RingsΔ are Quillen closed model categories and the total left derived functor of K is an equivalence: LK : HoDGR* → Ho RingsΔ The dual of this result for chain DG and simplicial rings was obtained independently by S. Schwedeand B. Shipley through different methods (Equivalences of monoidal model categories. Algebraic and Geometric Topology 3 (2003), 287-334). Our proof is based on a functor Q : DGR* → RingsΔ,naturally homotopy equivalent to K , and which preserves the closed model structure. It also has other interesting applications. For example, we use Q to prove a non commutative version of the Hochschild-Konstant-Rosenberg and Loday-QuilLen theorems. Our version applies to the cyclicmodule [n]→ ЦnR S that arises from a homomorphism R —>S of not necessarily commutative rings, using the coproduct ЦR of associative R-algebras. As another application of the propertiesof Q, we obtain a simple, braid-free description of a product on the tensor power SxnR originally defined by P. Nuss using braids (Non commutative descent and non abelian cohomology, K-theory 12 (1997) 23-74.).
Fil: Castiglioni, José Luis. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.