Series aleatorias en espacios de funciones y algunas aplicaciones

• Autores: Medina, Juan Miguel
• Año de publicación: 2011
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cernuschi Frías, Bruno
• Materia: SERIES ALEATORIAS DE FUNCIONES; PROCESOS ESTOCASTICOS; CONVERGENCIA; RANDOM SERIES OF FUNCTIONS; STOCHASTIC PROCESSES; CONVERGENCE
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

El objeto de este trabajo es el estudio de ciertas series aleatorias ∑ Xi , con Xi variables aleatorias que toman valores en un espacio de funciones apropiado. Se le dará particular importancia al caso en que Xi = ai fi , donde {fi }i es un conjunto de funciones fijas, por ejemplo una base de algún espacio apropiado, y los coeficientes ai 's son variables aleatorias. Este tipo de resultados está relacionado con la posible representación de procesos estocásticos mediante series. Por ejemplo, si los ai 's son ciertas variables aleatorias independientes y {fi }i es un conjunto apropiado de funciones en L2 [0, 1], Itô de esta manera dió una construcción del proceso Browniano sobre el intervalo [0, 1] [39]. Se estudiarán los casos de series aleatorias con valores en espacios Lp separables y también se estudiará el caso de series convergentes en el espacio de distribuciones D′ (Rd ). En el caso de los espacios Lp separable, se estudiarán algunas relaciones entre los distintos tipos de convergencia, casi segura con respecto a la norma del espacio subyacente que estamos considerando, convergencia en media y en casi todo punto respecto al espacio producto, que surge de considerar a la variable aleatoria que toma valores en Lp como una función de dos variables. La elección de estos espacios está motivada por algunas aplicaciones. Si lo deseado es utilizar este tipo de desarrollos para construir un proceso estocástico, puede ser que para algunos casos "patológicos", sea mas conveniente considerar por ejemplo series convergentes en D′ (Rd ). Por ejemplo esto, finalmente, nos permitirá dar un 1 desarrollo en serie para la familia de procesos f , que en los últimos años han recibido cierto interés en las aplicaciones. De alguna manera estas representaciones tienen una similitud con el clásico teorema de Karhunen-Loève [27]. Una propiedad del desarrollo de Karhunen-Loève es que se obtiene una base ortonormal del espacio lineal generado por el proceso. Esto permite escribir ciertas aproximaciones en forma de series incondicionalmente convergentes. Esta útil propiedad se puede obtener bajo otras condiciones. Para resolver éste problema, al final, estudiaremos condiciones para las cuales una sucesión estacionaria forma un frame o una base de Riesz.
In this thesis we study certain random series of the form ∑ Xi , where the Xi 's i are random variables taking values in an appropriate function space. We will give particular importance to the case when Xi = ai fi , where {fi }i is an appropriate set of functions,for example a basis of some function space, and the coeficients ai 's are random variables. This type of result is related to the possible representation of random processes by series. For example, if the ai 's are suitable independent random variables and {fi }i is an appropriate set of functions in L2 [0, 1], Itô in this way, gave a series representation of the Brownian process on the interval [0, 1] [39]. We will study the cases of random series taking values in separable Lp spaces, we will also study random series in D′ (Rd ). In the case of the separable Lp spaces, we will study several relationships between diferent types of convergence: almost sure with respect to the norm of the underlying function space, convergence in the mean and convergence in the product space, as a consequence of considering Lp valued random variables as two variable functions. The election of these particular spaces was motivated by some applications. If we want to use these type of series expansion to construct random processes, for some "pathological" cases it could be more appropriate to consider convergent series in D′ (Rd ). For example, this allows 1 us to give a series representation of the f family of stochastic processes, which in recent time has received special interest from the applications. In some way, this representations resemble the classic Karhunen-Loève theorem [27]. A property of the Karhunen-Loève expansion of a random process is that one obtains an orthonormal basis of the closed linear span of the whole process. This allows to write certain approximations as unconditional convergent series. This useful property could be obtained under other conditions. To solve this problem, finally, we study conditions under which a stationary sequence forms a frame or a Riesz basis of its closed linear span.
Fil: Medina, Juan Miguel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.