Algebras de Nichols sobre grupos no abelianos

• Autores: Vendramin, Leandro
• Año de publicación: 2010
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Graña, Matías Alejo
• Materia: ALGEBRAS DE HOPF PUNTEADAS; ALGEBRAS DE NICHOLS; RACKS; POINTED HOPF ALGEBRAS; NICHOLS ALGEBRAS; RACKS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis se estudian álgebras de Nichols sobre grupos no abelianos. Un álgebra de Nichols viene dada por un par (X, q), donde X es un rack y q es un 2-cociclo en una teoría de cohomología no abeliana de racks. En este trabajo definimos racks de tipo D y demostramos que los racks simples y finitos de tipo D dan álgebras de Nichols de dimensión infinita para todo 2-cocyclo q. Muchas de las clases de conjugación de los grupos esporádicos, o de An, o de Sn son racks de tipo D. Con estos resultados y las técnicas que desarrollamos a partir de la clasificación de álgebras de Nichols de tipo diagonal de dimensión finita hecha por Heckenberger demostramos que no existen álgebras de Nichols de dimensión finita sobre G, donde G = An o G = Sn o G es un grupo simple esporádico distinto de Fi22, B o M. Como corolario, el método del levante nos da la clasificación de álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita sobre estos grupos. En un apéndice presentamos brevemente un software que desarrollamos para poder realizar cálculos relacionados con racks y álgebras de Nichols. Este software resultó ser una poderosa herramienta para crear, entender y aplicar las técnicas que dan condiciones que garantizan que un par (X, q) (o una clase de conjugación de un grupo finito dado) dé solamente álgebras de Nichols de dimensión finita.
In this thesis Nichols algebras over non-abelian groups are studied. A Nichols algebra is given by a pair (X, q), where X is a rack and q is a 2-cocycle in a non-abelian rack cohomology theory for racks. We define the notion of racks of type D and we prove that finite simple racks of type D give infinite-dimensional Nichols algebras for every 2-cocyle q. Most of the conjugacy classes of the sporadic simple groups, or An, or Sn are racks of type D. These results combined with techniques that we developed from Heckenberger's classification of Nichols algebras of diagonal type lead us to to prove that there are no finite-dimensinal Nichols algebras over G, where G = An or G is a sporadic simple group different from Fi22, B and M. As a corollary, the lifting method allows us to complete the classification of pointed Hopf algebras over these groups. In an appendix we present a computer package that we developed for computations related with racks and Nichols algebras. This package turns out to be a powerful tool, very useful for creating, understanding and applying the techniques that give conditions that guarantee that a pair (X, q) (or a conjugacy class in a given finite group) gives only infinite-dimensional Nichols algebras.
Fil: Vendramin, Leandro. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.