Cohomología de Hochschild de álgebras de operadores diferenciales asociadas a arreglos de hiperplanos

• Autores: Kordon, Francisco
• Año de publicación: 2019
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Suárez-Álvarez, Mariano
• Materia: ARREGLOS DE HIPERPLANOS; COHOMOLOGIA DE HOCHSCHILD; ALGEBRAS DE OPERADORES DIFERENCIALES; PARES DE LIE-RINEHART; TEORIA DE DEFORMACIONES; HYPERPLANE ARRANGEMENTS; HOCHSCHILD COHOMOLOGY; ALGEBRAS OF DIFFERENTIAL OPERATORS; LIE-RINEHART PAIRS; DEFORMATION THEORY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Dado un arreglo de hiperplanos A en un espacio vectorial V sobre un cuerpo de característica cero, estudiamos el álgebra Diff(A) de operadores diferenciales enV tangentes a los hiperplanos de A desde el punto de vista del álgebra homológica. Hacemos un estudio detallado de este álgebra para el caso de un arreglo central de rectas en un espacio vectorial de dimensión 2. Entre otras cosas, determinamos la cohomología de Hochschild HH(Diff(A)) como álgebra de Gerstenhaber, establecemos un vínculo entre ésta y la cohomología de de Rham del complemento M(A) del arreglo, determinamos el grupo de isomorfismos de Diff(A), clasificamos las álgebras de esta forma a menos de isomorfismo y estudiamos las deformaciones formales de Diff(A). Mostramos que en el contexto general de un arreglo de hiperplanos de dimensión arbitraria el álgebra Diff(A) es isomorfa al álgebra envolvente del par de Lie–Rinehart formado por el álgebra de funciones coordenadas del espacio vectorial y el álgebra de Lie de derivaciones tangentes al arreglo. El cálculo de la cohomología de Hochschild de Diff(A) puede ser ubicado entonces en el contexto del cálculo de la del álgebra envolvente U de un par de Lie–Rinehart (S; L): damos un método para hacer esto en el caso en que L es un S-módulo proyectivo. Concretamente, presentamos una sucesión espectral que converge a HH(U ) cuya segunda página involucra la cohomología de Lie–Rinehart del par (S; L) y la cohomología de Hochschild de S a valores en U .
Given a free hyperplane arrangement A in a vector space V over a field of characteristic zero, we study the algebra Diff(A) of differential operators on V which are tangent to the hyperplanes of A from the point of view of homological algebra. We make a thorough study of this algebra for the case of a central arrangement of lines in a vector space of dimension 2. Among other things, we determine the Hochschild cohomology HH(Diff(A)) as a Gerstenhaber algebra, establish a connection between that cohomology and the de Rham cohomology of the complement M(A) of the arrangement, determine the isomorphism group of Diff(A), classify the algebras of that form up to isomorphism and study the formal deformations of Diff(A). We show that in the general setting of a free arrangement of hyperplanes of arbitrary dimension the algebra Diff(A) is isomorphic to the enveloping algebra of the Lie–Rinehart pair formed by the algebra of coordinates functions on the vector space and the Lie algebra of derivations tangent to the arrangement. The computation of the Hochschild cohomology of Diff(A) can be then put in the context of computing that of the enveloping algebra U of a Lie–Rinehart pair (S; L): we provide a method to do this if L is S-projective. Concretely, we present a spectral sequence which converges to HH(U ) and whose second page involves the Lie—Rinehart cohomology of the pair and the Hochschild cohomology of S with values on U .
Fil: Kordon, Francisco. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.