Mapas cuánticos y semiclásicos para sistemas disipativos sometidos a perturbaciones periódicas

• Autores: Gatica, Silvina María
• Año de publicación: 1995
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Hernández, Ester Susana
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En este trabajo hemos estudiado los mapas cuánticos y semiclásicos de sistemassometidos a perturbaciones periódicas y acoplados a un mecanismo disipativo. Enparticular analizamos dos sistemas: 1) un oscilador armónico cuántico acoplado a unbaño térmico arbitrario y perturbado periódicamente con un potencial dependientede la coordenada y 2) un spin acoplado a un campo magnético esterno e inmersoen un reservorio de osciladores y al cual se le aplicó periódicamente una rotacióninstantánea. Para el primer sistema empleamos la representación semiclásica de Wigner yconstruimos el mapa cuántico de la función de Wigner, siguiendo el procedimientode Graham y Tél, y el mapa semiclásico de los momentos. En particular estudiamos el mapa en el caso en que se aplica una perturbaciónarmónica. Se investigó el mapa semiclásico de los primeros y segundos momentos,que describen completamente al problema en el caso en que la distribución inicialdel oscilador sea una función de Gauss. Del análisis de la estabilidad del puntofijo vimos que si la intensidad de la pulsación supera cierto valor crítico el puntofijo se vuelve hiperbólico pero sus coordenadas dejan de pertenecer al espacio delos momentos. Es decir que si la pulsación es suficientemente fuerte el sistema noalcanza un equilibrio. El valor critico para el caso AC es menor que para el caso AOR. Cuando la intensidad de la perturbación toma el valor crítico la distribuciónde equilibrio resulta ser uniforme. Cuando es menor, el estado de equilibrio engeneral es diferente para los modelos AOR y AC y corresponde a una gasussianacentrada en el origen del espacio (q, p). Cuando la frecuencia de la pulsación es muybaja, o es un múltiplo de la frecuencia propia del oscilador bajo la influencia delentorno disipativo, el punto fijo no pierde su estabilidad para ningún valor de laintensidad de la pulsación. Luego analizamos el mapa cuántico, a través del propagador de la función de Wigner, en los límites de acoplamiento débil, clásico, y asintótico para una perturbacióngeneral. Vimos que si la interacción es muy débil el modelo de acoplamientono se distingue en el mapa. En el límite clásico encontramos que los mapas AOR y AC no coinciden y es el modelo AC el que describe correctamente, en este limite, alproblema clásico. En el límite asintótico los propagadores AOR y AC se distinguenúnicamente en el valor de las dispersiones. El segundo sistema, a diferencia del anterior, tiene la particularidad de ser dedimensión finita. Esto permite construir un mapa semiclásico totalmete equivalenteal mapa cuántico. Dado que, en este caso, la perturbación es una rotación, no es posible contrarrestarlos efectos del mecanismo disipativo y el sistema siempre alcanza un equilibrio. El mapa semiclásico fue analizado para los casos particulares de spin 1 y 1/2 através de las propiedades de sus coeficientes de decaimiento y puntos fijos. Ademáspara spin 1 realizamos un análisis perturbativo del mapa disipativo tomando unainteracción mezcla de AOR y AC y calculamos la corrección de primer orden enlos autovalores cuando la interacción es muy cercana a AOR o muy cercana a AC. Vimos que para temperatura alta la corrección que sufre el sistema AC es cuatroveces mayor que el AOR. Para el sistema con spin 1 la diferencia entre los acoplamientos es muy marcadaal aplicar una rotación con eje paralelo al campo externo. Tanto la dinámica comoel punto fijo del mapa AOR no se ven afectados por esta rotación. En cambio, en elcaso AC la dinámica depende del ángulo de la rotación a través de los coeficientesde decaimiento del mapa. Cuando la temperatura es muy baja o el acoplamiento esmuy débil esta diferencia se hace inapreciable. Los puntos fijos de los mapas AOR y AC son en general diferentes salvo cuando la temperatura es elevada y la frecuenciade la pulsación es muy baja o cuando la interacción es muy débil. En el caso de spin 1/2 realizamos el mismo análisis del mapa semiclásico y agregamosel estudio del mapa escalar generado al aplicar la perturbación a un invariantesemiclásico del mapa disipativo. El mapa semiclásico parece ser menos sensibleal modelo de la interacción en este caso que para spin 1. Los coeficientes de decaimientomuestran diferencias cuando la rotación aplicada no es paralela al campoexterno. En este caso la relajación de los sistemas AOR y AC depende del ángulode la rotación. Aunque la forma en que varían los coeficientes de decaimiento essimilar para ambos modelos se observa una mayor amplitud en el caso AC. En elanálisis de los puntos de equilibrio observamos que aparece alguna diferencia entrelos acoplamientos cuando se perturba al sistema en una dirección ni paralelani perpendicular al campo externo. Además, si el límite de acoplamiento débil esestricto los mapas coinciden en todos los casos. El mapa escalar si presenta un comportamientomuy diferente según la interacción. En el caso AOR el mapa alcanzaun valor constante después de un transitorio mientras que el régimen asintótico delmapa AC es oscilatorio. Además, el valor asintótico promedio del mapa, que enambos casos depende del ángulo de la rotación aplicada, es de mayor magnitud enel caso AC. En los dos sistemas estudiados encontramos que el modelo de interacción resultairrelevante solamente en el límite estricto de acoplamiento débil. Fuera de este límite, vemos que los mapas semiclásicos muestran una dinámicadiferente para los casos AOR y AC. Los puntos de equilibrio del sistema del spin sonindependientes del modelo en el límite clásico si la frecuencia de la pulsación es muybaja. Bajo estas condiciones, la única señal del tipo de interacción que encontramosen el propagador del sistema del oscilador es un corrimiento de la frecuencia naturalque afecta a las dispersiones. En el mapa escalar estudiado en el caso de spin 1/2siempre encontramos un comportamiento diferente para AOR y AC, ya que en éstevemos reflejada la simetría de cada modelo. En los casos en que los acoplamiemtos se distinguen, el AC muestra una dependenciamás importante con los parámetros del problema. Ya sea con la intensidadde la pulsación o, en el caso de spin 1 ante una perturbación en la interacción. La diferencia fundamental entre los dos modelos de acoplamiento radica en laaparición de una simetría en el sistema no pulsado bajo el marco AOR. Para elsistema con spin, en el marco AOR, el sistema recupera la simetría de rotación propiadel spin acoplado al campo magnético externo y libre del mecanismo disipativo. Conel oscilador sucede algo equivalente. La simetría recuperada en este caso es la deloscilador armónico, que también se traduce en el hecho de que el mapa semiclásico delos primeros momentos adecuadamente adimensionalizados resulta ser proporcionala una matriz de rotación. En el caso del oscilador, el sistema posee un análogo clásico. Más aún, estaclase de mapa cuántico es muchas veces construído con el objeto de comparar lassituaciones clásica y cuántica. Por lo tanto, dado que el límite clásico en el marco ACreproduce el sistema clásico, éste parece ser el modelo adecuado para introducir ladisipación cuántica. En el caso del spin, el sistema representa situaciones de origenpuramente cuántico y entonces no encontramos un argumento tan claro como paraadoptar uno u otro modelo. Sin embargo la recuperación de la simetría del sistemalibre es un aspecto a tener en cuenta en cada aplicación concreta, es decir, la simetríadel problema real que se quiere describir a través de este formalismo puede indicarcuál de los dos acoplamientos es el más apropiado.
Fil: Gatica, Silvina María. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.