Estructuras matemáticas asociadas a la ecuación de Dirac

• Autores: Garrone, Agustín Nicolás
• Año de publicación: 2024
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis de grado
• Colaborador/a o director/a de tesis: Dotti, Gustavo Daniel
• Materia: Física matemática; Álgebra de Clifford; Grupo de espín; Espinor; Representación espinorial; Formas cuadráticas; Ecuación de Dirac; Espinor de Majorana; Espinor de Weyl; Mathematical physics; Clifford algebra; Spin group; Spinor; Spinorial representation; Quadratic form; Dirac equation; Majorana spinor; Weyl spinor
• Institución: Universidad Nacional de Córdoba

Tesis (Lic. en Física)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2024.
Fil: Garrone, Agustín Nicolás. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina.
Este trabajo se propone esclarecer la noción de espín vía el estudio de las álgebras de Clifford y de las representaciones irreducibles de diversas estructuras contenidas en ellas, motivado por el interés en dar una descripción prolija de la matemática subyacente a la ecuación de Dirac. Las álgebras de Clifford son superálgebras asociativas unitales generadas por un espacio vectorial con una forma cuadrática, y pueden pensarse como ``deformaciones" (en un sentido preciso) del álgebra exterior de dicho espacio vectorial. Su estructura es bien conocida independientemente de la signatura y dimensión del espacio cuadrático que las genera, y en los casos real y complejo es posible dar una clasificación completa, siendo natural valerse de ésta para estudiar sus representaciones irreducibles. Notablemente, las álgebras de Clifford permiten dar construcciones sencillas de recubrimientos finitos de grupos ortogonales, llamados grupos de espín, dando lugar a la noción de espinor como elemento de ciertas representaciones irreducibles de estos grupos. Los espacios de espinores están equipados de manera natural con estructura extra, que permite esclarecer conceptos como espinores de Weyl ó Majorana, adjunto de Dirac, y conjugación de carga. Se discuten algunas implicaciones de índole físico, a saber: la noción de espín no Cliffordiano, el rol de la signatura en la descripción de ciertos fenómenos, y la existencia de espinores distinguidos.
This work aims to clarify the notion of spin via the study of Clifford algebras and the irreducible representations of various structures contained in them, motivated by the interest in giving a neat description of the mathematics underlying the Dirac equation. Clifford algebras are unital associative superalgebras generated by a vector space with a quadratic form, and can be thought of as ``deformations" (in a precise sense) of the exterior algebra of that vector space. Their structure is well known independently of the signature and dimension of the quadratic space that generates them, and in the real and complex cases a complete classification is possible, making it natural to use this classification to study their irreducible representations. Notably, Clifford algebras allow simple constructions of finite covers of orthogonal groups, called spin groups, giving rise to the notion of a spinor as an element of certain irreducible representations of these groups. Spinor spaces are naturally equipped with extra structure, which allows to elucidate concepts such as Weyl or Majorana spinors, Dirac adjoint, and charge conjugation. Some physical implications of this classification are discussed, namely: the notion of non-Cliffordian spin, the role of the signature in the description of certain phenomena, and the existence of distinguished spinors.
Fil: Garrone, Agustín Nicolás. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación; Argentina.