Investigaciones en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con aplicaciones a problemas físicos

• Autores: Abalos, Julio Fernando
• Año de publicación: 2019
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Reula, Oscar Alejandro
• Materia: Hyperbolicidad Fuerte; Vinculos Diferenciales; Descomposición en Valores Singulares; Descomposición de Kronecker
• Institución: Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas

Una de las características más importantes de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que pretendan describir física, es que posean una formulación de valores iniciales bien puesta. Es decir, dados ciertos datos iniciales para algún tiempo inicial, las soluciones del sistema deben cumplir las siguientes tres condiciones: existir localmente, ser únicas y continuas en esos datos iniciales. Esta propiedad es fundamental en problemas físicos, debido a que garantiza el poder de predictibilidad de la teoría. Dentro de la clase de sistemas bien puestos, se encuentran los fuertemente hiperbolicos cite{kreiss2004initial}, estos son los que estudiaremos en esta tesis. Consideraremos teorías en derivadas parciales de primer orden, cuasi-lineales y con vínculos diferenciales. En estos casos, el número de ecuaciones es más grande que el número de campos a resolver, por lo que no pueden aplicarse los métodos standard para hiperbolicidad fuerte de la teoría de Kreiss. Para lidiar con este problema se introduce un nuevo tensor, llamado reducción. Este selecciona un subconjunto de ecuaciones con el objetivo de usarlas como ecuaciones de evolución para los campos a resolver. Cuando las mismas resultan fuertemente hiperbólicas llamamos a esa reducción hiperbolizador. Es de interés, tanto a nivel teórico como numérico, construir una teoría general que nos permita comprender que condiciones garantizan la existencia (o la no existencia) de hiperbolizadores y obtener métodos para construirlos. Es por ello que en esta tesis se responde parcialmente esa incógnita.Es conocido que el tensor que acompaña a las derivadas primeras, llamadosímbolo principal, juega un papel importante en la teoría. Por lo que gran parte de la tesis es el estudio de sus propiedades, que nos permite obtener información sobre como construir hiperbolizadores. Como primer resultado cite{abalos2017necessary}, hemos encontrado que para teorías cuasi-lineales, una condición necesaria para que exista unhiperbolizador es que los valores singulares de ciertas familias mono-paramétricas $(arepsilon)$ de perturbaciones del símbolo principal, sean solo de orden $Oleft( arepsilon^{0}ight) $ o $Oleft(arepsilon^{1}ight)$. Por lo que hemos desarrollado un mecanismo que permite identificar, de un modo muy sencillo, teorías mal puestas. Usando esta herramienta, hemos mostrado que las ecuaciones que describen la electrodinámica de Force Free en su versión de potenciales de Euler y los fluidos cargados con conductividad finita, son débilmente hiperbólicas.Como nuestro segundo resultado cite{abalos2018necessary}, hemos estudiado las teorías con coeficientes constantes, y concluimos que una condición necesaria y suficiente para hiperbolicidad fuerte, es que exista un ángulo máximo $0leqarthetaFil: Abalos, Julio Fernando. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Córdoba. Instituto de Física Enrique Gaviola. Universidad Nacional de Córdoba. Instituto de Física Enrique Gaviola; Argentina