Un nuevo enfoque sobre la conjetura de Whitehead y la asfericidad de los complejos LOT

• Autores: Cerdeiro, Manuela A.
• Año de publicación: 2015
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Minian, Elías Gabriel
• Materia: CW-COMPLEJOS; ASFERICIDAD; COMPLEJOS LOT; ESPACIOS TOPOLOGICOS FINITOS; METODOS DE REDUCCION; CW-COMPLEXES; ASPHERICITY; LOT COMPLEXES; FINITE TOPOLOGICAL SPACES; REDUCTION METHODS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Este trabajo se centra en el estudio de la conjetura de Whitehead y de la asfericidadde los complejos LOT, aplicando nuevos métodos y herramientas basados principalmenteen la teoría de espacios topológicos finitos. Sea L un complejo asférico de dimensión 2. Los subcomplejos de L son tambiénasféricos? Esta pregunta fue formulada por J. H. C. Whitehead en 1941 [Whi41], ytodavía no tiene respuesta. Entre los avances más importantes en este tema está el teoremade J. Howie a partir del cual el problema se separa en dos casos donde se consideran,respectivamente, complejos compactos y no compactos [How83]. A partir de este resultado,traducimos el caso compacto al contexto de los espacios finitos, y podemos atacar elproblema con un enfoque nuevo, distinto de las estrategias aplicadas hasta ahora. Los complejos LOT (labeled oriented tree) aparecen en el estudio de ciertas variedadesque surgen como complementos de los llamados ribbon discs. Howie probó que si uncomplejo se 3-deforma a un punto, entonces el subcomplejo que surge de quitarle una 2-celda se 3-deforma a un complejo LOT [How83]. Es por esto que los complejos LOTforman un nexo entre la conjetura de Whitehead y la conjetura de Andrews-Curtis. Por otro lado, todo complejo LOT se puede ver como subcomplejo de un complejo contráctil. Es por esto que los complejos LOT son considerados casos testigos de la conjetura de Whitehead. La teoría de espacios finitos comenzó en los años 30 con un trabajo de P. S. Alexandroffdonde se los relaciona con los conjuntos parcialmente ordenados (posets) finitos [Ale37]. Esta teoría tuvo un avance importante en el a~no 1966 con el trabajo de M. C. McCord apartir del cual se constituyen como modelos combinatorios de poliedros [McC66]. En losúltimos años, J. A. Barmak y E. G. Minian hicieron importantes avances en esta teoría. Entre otros aportes, desarrollaron la teoría de homotopía simple para espacios finitos, yaplicaron los espacios finitos al estudio de las conjeturas de Quillen y de Andrews-Curtis [BM07, BM08b, BM08a, Bar11]. En este trabajo desarrollamos nuevos métodos combinatorios de espacios finitos, diseñados espacialmente para el estudio de la asfericidad. Probamos la validez de la conjeturapara dos amplias familias de poliedros compactos: los cuasi construibles contráctiles, ylos fuertemente asféricos. Utilizando resultados recientes de Barmak y Minian sobre G-coloreos de posets, obtenemos una descripción eficiente del segundo grupo de homotopíade un complejo LOT, como un submódulo de un módulo libre, con generadores indexadospor las aristas, y ecuaciones indexadas por los vértices. A partir de esta descripción,hallamos un método para el análisis de la asfericidad de estos complejos. Con este nuevométodo se obtenemos resultados sobre la asfericidad de importantes familias de LOTs.
This work is focused on the study of the Whitehead conjecture and the asphericity of LOT complexes, by applying new methods based on the theory of finite topological spaces. Is every subcomplex of an aspherical, two-dimensional complex itself aspherical? Thisquestion was stated by J. H. C. Whitehead in 1941 [Whi41], and it sill hasn't been answered. Using a result of J. Howie [How83] one can treat separately the compact and thenon-compact case (both are open and interesting). We concentrate on the compact caseusing, among other tools, methods of the theory of finite topological spaces. LOT complexes appear in the study of certain manifolds that arise as complements ofthe so called ribbon discs. Howie proved that if a CW-complex can be 3-deformed to apoint, then the subcomplex obtained by eliminating a 2-cell can be 3-deformed to a LOTcomplex [How83]. This is why these complexes constitute a link between the Whiteheadconjecture and the Andrews-Curtis conjecture. On the other hand, every LOT complexcan be seen as a subcomplex of a contractible complex. This is why LOT complexes are considered test cases for the Whitehead conjecture. The theory of finite spaces started in 1937 with a work of P. S. Alexandroff, whorelated them with finite partially ordered sets (posets) [Ale37]. This theory had an importantbreakthrough in 1966 with the work of M. C. McCord, which established them ascombinatorial models for compact polyhedra [McC66]. In the last few years, J. A. Barmakand E. G. Minian made important advances in this theory. Among other contributions,they developed the simple homotopy theory of finite spaces, and applied methods of finitespaces to the study of the conjecture of Quillen and to the Andrews-Curtis conjecture [BM07, BM08a, BM08b, Bar11]. In the present work we develop new combinatorial methods of finite spaces, speciallydesigned for the study of asphericity. We prove the validity of the conjecture for two largefamilies of compact polyhedra: the contractible quasi-constructible complexes, and thestrong aspherical complexes. Making use of recent results of Barmak and Minian about G-colorings of posets, we obtain an efficient description of the second homotopy group ofa LOT complex, as a submodule of a free Z[π1]-module, with generators indexed by theedges, and equations indexed by the vertices. Using this description, we find a methodfor the analysis of the asphericity of these complexes. With these new methods we obtainresults about the asphericity of important families of LOTs.
Fil: Cerdeiro, Manuela A.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.