Un nuevo enfoque sobre la conjetura de Whitehead y la asfericidad de los complejos LOT - Cerdeiro, Manuela Ana (2015)
Este trabajo se centra en el estudio de la conjetura de Whitehead y de la asfericidadde los complejos LOT, aplicando nuevos métodos y herramientas basados principalmenteen la teoría de espacios topológicos finitos. Sea L un complejo asférico de dimensión 2. Los subcomplejos de L son tambiénasféricos? Esta pregunta fue formulada por J. H. C. Whitehead en 1941 [Whi41], ytodavía no tiene respuesta. Entre los avances más importantes en este tema está el teoremade J. Howie a partir del cual el problema se separa en dos casos donde se consideran,respectivamente, complejos compactos y no compactos [How83]. A partir de este resultado,traducimos el caso compacto al contexto de los espacios finitos, y podemos atacar elproblema con un enfoque nuevo, distinto de las estrategias aplicadas hasta ahora. Los complejos LOT (labeled oriented tree) aparecen en el estudio de ciertas variedadesque surgen como complementos de los llamados ribbon discs. Howie probó que si uncomplejo se 3-deforma a un punto, entonces el subcomplejo que surge de quitarle una 2-celda se 3-deforma a un complejo LOT [How83]. Es por esto que los complejos LOTforman un nexo entre la conjetura de Whitehead y la conjetura de Andrews-Curtis. Por otro lado, todo complejo LOT se puede ver como subcomplejo de un complejo contráctil. Es por esto que los complejos LOT son considerados casos testigos de la conjetura de Whitehead. La teoría de espacios finitos comenzó en los años 30 con un trabajo de P. S. Alexandroffdonde se los relaciona con los conjuntos parcialmente ordenados (posets) finitos [Ale37]. Esta teoría tuvo un avance importante en el a~no 1966 con el trabajo de M. C. McCord apartir del cual se constituyen como modelos combinatorios de poliedros [McC66]. En losúltimos años, J. A. Barmak y E. G. Minian hicieron importantes avances en esta teoría. Entre otros aportes, desarrollaron la teoría de homotopía simple para espacios finitos, yaplicaron los espacios finitos al estudio de las conjeturas de Quillen y de Andrews-Curtis [BM07, BM08b, BM08a, Bar11]. En este trabajo desarrollamos nuevos métodos combinatorios de espacios finitos, diseñados espacialmente para el estudio de la asfericidad. Probamos la validez de la conjeturapara dos amplias familias de poliedros compactos: los cuasi construibles contráctiles, ylos fuertemente asféricos. Utilizando resultados recientes de Barmak y Minian sobre G-coloreos de posets, obtenemos una descripción eficiente del segundo grupo de homotopíade un complejo LOT, como un submódulo de un módulo libre, con generadores indexadospor las aristas, y ecuaciones indexadas por los vértices. A partir de esta descripción,hallamos un método para el análisis de la asfericidad de estos complejos. Con este nuevométodo se obtenemos resultados sobre la asfericidad de importantes familias de LOTs.