Métodos numéricos para problemas no locales de evolución

Autores
Mastroberti Bersetche, Francisco Vicente
Año de publicación
2019
Idioma
inglés
Tipo de recurso
tesis doctoral
Estado
versión publicada
Colaborador/a o director/a de tesis
Acosta Rodríguez, Gabriel
Descripción
El objetivo de este trabajo es estudiar aproximaciones numéricas para problemas de evolución de la forma C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), donde (-Δ)s representa el operador Laplaciano fraccionario en su forma integral y C∂αtu(x,t) denota la derivada de Caputo. Para ser más precisos, (-Δ)su(x)= C(n,s) p.v. ∫ℝn [(u(x)-u(y))/(|x-y|^n+2s)] dy, y C∂αtu(x,T)= { [1/r(k-α)]∫t0[1/(t-r)^α-k+1]∂ku/∂tk(x,r) dr if k-1<αThe aim of this work is to study numerical approximations for evolution problems of the form C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), where (-Δ)s stands for the fractional Laplacian operator in its integral form and C∂αtu(x,t)represents the Caputo derivative. To be more precise, (-Δ)su(x)= C(n,s) p.v. ∫ℝn [(u(x)-u(y))/(|x-y|^n+2s)] dy, and C∂αtu(x,T)= { [1/r(k-α)]∫t0[1/(t-r)^α-k+1]∂ku/∂tk(x,r) dr if k-1<αFil: Mastroberti Bersetche, Francisco Vicente. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.
Materia
LAPLACIANO FRACCIONARIO
DERIVADA DE CAPUTO
METODO DE ELEMENTOS FINITOS
FRACTIONAL LAPLACIAN
CAPUTO DERIVATIVE
FINITE ELEMENT METHOD
Nivel de accesibilidad
acceso abierto
Condiciones de uso
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ar
Repositorio
Biblioteca Digital (UBA-FCEN)
Institución
Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
OAI Identificador
tesis:tesis_n6618_MastrobertiBersetche
Acceder
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The aim of this work is to study numerical approximations for evolution problems of the form C∂αtu + (-Δ)su = f in Ω *(0,T), where (-Δ)s stands for the fractional Laplacian operator in its integral form and C∂αtu(x,t)represents the Caputo derivative. To be more precise, (-Δ)su(x)= C(n,s) p.v. ∫ℝn [(u(x)-u(y))/(|x-y|^n+2s)] dy, and C∂αtu(x,T)= { [1/r(k-α)]∫t0[1/(t-r)^α-k+1]∂ku/∂tk(x,r) dr if k-1<α<k, k∈ℕ, ∂ku/∂tk(x,t) if α=k∈ℕ. We deal with existence, uniqueness and regularity of solutions in the linear context(i.e. f = f(x,t)). The cases under study include fractional counterparts of the standard diffusion and wave models. Linear finite elements are used for the spatial variable and convolution quadrature techniques for handling the time fractional operator. Error bounds, uniform in the discretization parameters for values of t away from zero, are given. These results are extended to the semi-linear case with f(u) = u-u^3 appearing in the classical Allen-Cahn equations modeling phase separation for binary alloys. Additionally, the asymptotic behaviour of the solutions for s→0 is studied in this particular context. Implementation details, particularly for the finite element method involving full fractional stiffness matrices and numerical quadratures for singular kernels, are carefully documented.
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