Desigualdades modulares débiles para operadores maximales generalizados y aplicaciones al problema de diferenciación de integrales

• Autores: Polasek, Iván
• Año de publicación: 2022
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis de grado
• Colaborador/a o director/a de tesis: Rela, Ezequiel
• Materia: DESIGUALDADES MODULARES; OPERADOR MAXIMAL; BASES DE DIFERENCIACION; MEDIDAS NO DOBLANTES
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis estudiaremos operadores maximales en diferentes contextos y las desigualdades que podemos obtener para ejercer algún control sobre ellos. La motivación para estudiar estos objetos surge de un intento de ampliar el Teorema de Diferenciación de Lebesgue. En este teorema, el operador maximal de Hardy-Littlewood cumple un rol crucial, puesto que acota los valores de las integrales promediadas de una función en un punto. El Teorema de Hardy-Littlewood nos da un control sobre el operador maximal que resulta necesario para probar el Teorema de Diferenciación, pero descansa fuertemente en dos cuestiones: la geometría de los objetos sobre los que se calculan integrales promediadas (típicamente cubos o bolas) y ciertas propiedades específicas de la medida de Lebesgue. Entonces, ¿seguimos teniendo algún control sobre el operador maximal si pedimos hipótesis menos restrictivas? En el capítulo de Preliminares abordaremos las nociones necesarias para emprender este trabajo. Algunas son más técnicas y otras son nodales. Entre estas últimas, queremos mencionar la relación entre Teoremas de Diferenciación, Lemas de Cubrimiento y Desigualdades Débiles, ya que aquí es donde se aprecia la relación entre la motivación original del trabajo, el núcleo que efectivamente termina teniendo y las bases en las que se sustenta. En el Capítulo 3 estudiaremos operadores maximales obtenidos a partir de integrales promediadas sobre paralelepípedos no necesariamente cúbicos respecto de la medida de Lebesgue. Comenzaremos exponiendo un resultado clásico de Jessen, Marcinkiewicz y Zygmund de diferenciación para paralelepípedos con aristas libres. Después, introduciremos bases de paralelepípedos con aristas dependiendo de parámetros y estudiaremos la relación entre estas dependencias y las propiedades de diferenciabilidad de la base. Para eso presentaremos una desigualdad modular débil para la maximal, probada por Córdoba para una base específica en R³, y un teorema de Soria ([Sor86]) que mejora el resultado original aplicándolo a casos mucho más generales. El capítulo termina estudiando una serie de casos en los que esta estrategia no funciona. En el Capítulo 4 volveremos a considerar operadores dados por integrales promediadas sobre bolas, pero cambiaremos la medida de Lebesgue por una medida abstracta. Esto delatará qué propiedades de la medida de Lebesgue hacían valer las desigualdades débiles estudiadas anteriormente. Concretamente, estudiaremos el caso en una dimensión, y el trabajo de Vargas en Rⁿ con n > 1 ([Var94]) para caracterizar todas las medidas positivas cuyo operador maximal es de tipo débil (1,1). En el Capítulo 5 trabajaremos con medidas que no están contempladas en este caso, y será necesario recurrir aquí también a desigualdades modulares. Presentaremos aquí un trabajo de Sjögren y Soria ([SS04]), donde los autores prueban que cuando una medida es radial con una densidad que decae de una manera específica, su operador maximal satisface una desigualdad modular débil que permite probar resultados de interés. Este capítulo termina con una aplicación de este resultado y una mención a un resultado relacionado.
Fil: Polasek, Iván. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.