Un modelo de cómputo basado en ocultamiento de la información para cotas inferiores de complejidad en geometría algebraica efectiva

• Autores: Rojas Paredes, Andrés Avelino
• Año de publicación: 2018
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Heintz, Joos
• Materia: TIPO ABSTRACTO DE DATOS; FUNCION DE ABSTRACCION; ALGORITMO DE ELIMINACION; INTERPOLACION; OCULTAMIENTO DE LA INFORMACION; COTA INFERIOR DE COMPLEJIDAD; REQUERIMIENTO NO-FUNCIONAL; ROBUSTEZ; DIAGRAMA DE CLASES; MODELO DE COMPUTO; PROGRAMACION ORIENTADA A OBJETOS; POLINOMIOS; DISEÑO DE SOFTWARE; ABSTRACT DATA TYPE; ABSTRACTION FUNCTION; ELIMINATION ALGORITHM; INTERPOLATION; INFORMATION HIDING; LOWER COMPLEXITY BOUND; NON-FUNCTIONAL REQUIREMENT; ROBUSTNESS; CLASS DIAGRAM; COMPUTATION MODEL; OBJECT-ORIENTED PROGRAMMING; POLYNOMIALS; SOFTWARE DESIGN
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Para estudiar la complejidad intrínseca de un problema computacionalsiempre es posible dar y demostrar cotas inferiores de complejidad. Unacota inferior de complejidad es un teorema que establece la mínima complejidad que tiene cualquier algoritmo que intente resolver el problema que estamos considerando. Con esta definición, una cota posible es (1) que es una cota inferior trivial, cualquier algoritmo tarda al menos un paso. Lodifícil es obtener una cota inferior alta. Cuanto más alta es la cota inferior, es más difícil de demostrar, por ejemplo, aún es una pregunta abierta saber si existen o no cotas inferiores exponenciales para problemas en la clase de complejidad NP. En esta tesis se establece que la dificultad de encontrar tales cotas puede deberse a la naturaleza del modelo de cómputoutilizado que no debe ser general ni muy específico. Esta idea empezó con la noción de algoritmo programable (programmable algorithm) que distingueentre algoritmos en general y algoritmos producidos siguiendo unaespecificación (ver [HKRP13b]). De acuerdo con [Bor75], obtener una cotainferior de complejidad requiere la definición de dos ingredientes fundamentales:el modelo de cómputo que contiene los algoritmos que vamos aestudiar y una adecuada medida de complejidad computacional. Entonces,vamos a ser cuidadosos con la definición de estos ingredientes y vamos adefinir un modelo de cómputo para algoritmos programables en el sentidode [HKRP13b]. En particular, en esta tesis introducimos un modelo decómputo basado en conceptos de Ingeniería de Software. Esta característicapermite demostrar cotas inferiores de complejidad no triviales paraalgoritmos de eliminación en geometría algebraica efectiva. Esta tesis esta basada en un proyecto de 20 años de investigación encomplejidad algebraica y teoría del cálculo simbólico que fue iniciado en eltrabajo J. Heintz, J. Morgenstern, On the Intrinsic Complexity of Elimination Theory, Journal of Complexity 9 471-498 (1993). El objetivo originaldel proyecto fue determinar la complejidad intrínseca de resolver sistemasde ecuaciones polinomiales (teoría de la eliminación), se quería demostrar sucarácter de complejidad no polinomial. Este objetivo fue logrado en esenciaen el trabajo J. Heintz, B. Kuijpers, A. Rojas Paredes, Software Engineeringand Complexity in Effective Algebraic Geometry, Journal of Complexity 29 92-138 (2013), Journal of Complexity 2013 Best Paper Award, dondese fijó la estructura de datos que utilizaban los algoritmos de eliminación,esto se llamó modelo de circuitos (polinomios implementados en términosde circuitos aritméticos). Más tarde nos dimos cuenta de que el modelo de circuitos no era esencialy que nuestra argumentación también podía aplicarse a otras cuestiones decomplejidad en el cálculo científico, por ejemplo, la interpolación polinomial (ver [GHMS11]). La observación principal fue que habíamos desarrollado en nuestro contexto un modelo matemático para ciertos aspectos de la Ingeniería de Software, en particular, habíamos desarrollado un modelopara el ocultamiento de la información y el requerimiento no funcional dela robustez, esto nos permitió sacar conclusiones sorprendentes sobre lacomplejidad de los algoritmos de eliminación, ver B. Bank, J. Heintz, G. Matera, J. L. Montaña, L. M. Pardo, A. Rojas Paredes, Quiz Games as a Model for Information Hiding, Journal of Complexity 34 1-29 (2016). Esta tesis describe un modelo de cómputo que se inspira en las nocionesde ocultamiento de la información y requerimientos no funcionales, entreotros conceptos importantes en Ingeniería de Software como las nociones deabstracción y el diseño de software. Nuestro modelo de cómputo permiteprobar cotas inferiores de complejidad exponencial para los algoritmos deeliminación. Mostramos que cualquier implementación orientada a objetos (y robusta) de algoritmos de eliminación es necesariamente ineficiente. Esteresultado muestra una sinergia existente entre Ingeniería del Software y Teoría de la Complejidad Algebraica.
In order to study the intrinsic complexity of a given computational problemit is always possible to give and prove a complexity lower bound. Acomplexity lower bound is a theorem that establishes the least complexityfor any algorithm which tries to solve the problem we are considering. Thisdefinition allow us to say that a lower bound may be (1) which is a triviallower bound, any algorithm takes at least one step. The hardest part ofobtaining a lower bound is to obtain a high lower bound. The higher thelower bound is, the more dificult it is to prove, e.g., it is still an openquestion to know whether or not there exist exponential lower bounds forproblems in the complexity class NP. In this thesis we suggest that thedificulty of finding such lower bounds may be due to the characteristicsof the computation model which should not be general nor very specific. This idea started with the notion of programmable algorithm which distinguishes between algorithms in general and algorithms produced followinga specification (see [HKRP13b]). According to [Bor75], a complexity lowerbound requires the definition of both ingredients: a computation modelwhich contains the algorithms we are going to study and a suitable complexitymeasure. Thus, we are going to carefully define these ingredients, inparticular, we are going to define a computation model for programmablealgorithms in the sense of [HKRP13b]. In this thesis we introduce a computation model which is based on concepts from Software Engineering. Thischaracteristic allow us to prove non trivial complexity lower bounds forelimination algorithms in effective algebraic geometry. This thesis is based on a 20 years old research project in algebraic complexity and symbolic computation theory initiated in J. Heintz, J. Morgenstern, On the Intrinsic Complexity of Elimination Theory, J. of Complexity 9 471-498 (1993). The original aim was to determine the intrinsic complexity of polynomial equation solving (elimination theory) and to show its non polynomial complexity character. This goal was essentially achieved in J. Heintz, B. Kuijpers, A. Rojas Paredes, Software Engineering and Complexity in Effective Algebraic Geometry, J. of Complexity 29 92-138 (2013), Journal of Complexity 2013 Best Paper Award. In that work, the main data structure used for elimination algorithms was fixed and studied in a circuit model (polynomials implemented in terms of arithmetic circuits). Later we became aware that the circuit model was unessential and thatour argumentation could also be applied to other complexity questions inscientific computing, e.g., polynomial interpolation. The main observationwas that we had developed in our context a mathematical model for certainaspects of software engineering, in particular for Information Hiding andthe non functional requirement of robustness which allowed us to drawsurprising conclusions for complexity issues, see B. Bank, J. Heintz, G. Matera, J. L. Montaña, L. M. Pardo, A. Rojas Paredes, Quiz Games as a Model for Information Hiding, Journal of Complexity 34 1-29 (2016). This thesis describes a computation model which is inspired in the notionsof Information Hiding and non functional requirements among otherimportant concepts in software engineering, namely, the notions of abstraction and software design. Our computation model allows to provenon trivial and exponential lower complexity bounds for elimination algorithms. We show that any object oriented (and robust) implementationof elimination algorithms is necessarily ineficient. This result shows anexisting synergy between Software Engineering and Algebraic Complexity Theory.
Fil: Rojas Paredes, Andrés Avelino. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.