Rango óptimo en teoremas de restricción para la transformada de Fourier a conjuntos fractales

• Autores: García, Nahuel
• Año de publicación: 2018
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis de grado
• Colaborador/a o director/a de tesis: Rela, Ezequiel
• Materia: RESTRICCION DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER; CONJUNTOS DE SALEM; DIMENSION DE HAUSDORFF; DIMENSION DE FOURIER
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

En esta tesis estudiaremos un problema clásico del análisis armónico conocido como “restricción de la transformada de Fourier”, cuya formulación clásica, debida a Stein, es la siguiente: ¿Es posible restringir el operador transformada de Fourier que va de un espacio de funciones Lp(Rd) a otro espacio de funciones Lq(Rd) a un operador saliendo del mismo espacio pero llegando a Lq(Sd−1) para algún par de exponentes p, q? Notemos que la esfera tiene medida de Lebesgue cero, y teniendo en cuenta que si tomamos una función en L2, su transformada de Fourier también caerá en L2, restringirla a un conjunto de medida cero no tendrá sentido. En este trabajo estudiaremos las condiciones necesarias para que existan teoremas de restricción a la esfera, esto vendrá dado por lo que se conoce como "Knapp example", que consiste en estudiar el comportamiento de la función en pequeñas cáscaras esféricas y en donde la curvatura cumplirá un rol fundamental. En cuanto al problema de decidir cuándo estas condiciones son suficientes, estudiaremos un resultado de Fefferman-Stein [Fef70] donde prueban que para dimensión d = 2 lo son, pero en general es un problema que sigue abierto. Estudiaremos también un resultado debido a Mockenhaupt que generaliza el problema propuesto por Stein a conjuntos medibles más generales y no solo hipersuperficies como la esfera. También estudiaremos dos nociones de dimensión: la dimensión de Hausdorff y la dimensión de Fourier. Ilustraremos esto con algunos ejemplos de conjuntos fractales que poseen dimensión fraccionaria. Esto nos permitirá dar un marco introductorio adecuado para el estudio de una publicación debida a Laba-Hambrook [HŁ13] en donde prueban un análogo del "Knapp example" para el caso de subconjuntos fractales de la recta real, a donde el rol que antes cumplía la curvatura, lo cumplirá el no tener “mucha” estructura aritmética. Por último, estudiaremos algunas aplicaciones de teoremas de restricción a PDE’s, en particular las ecuaciones de Schrodinger y Helmhotz. También estudiaremos la relación entre los problemas de restricción de la transformada de Fourier y otros dos problemas clásicos de la teoría geométrica de la medida y el análisis armónico: el problema de Kakeya y los multiplicadores de Bochner-Riesz.
Fil: García, Nahuel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.