Algebras de operadores en espacios Lp asociadas a grafos orientados

• Autores: Rodríguez, María Eugenia
• Año de publicación: 2016
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Cortiñas, Guillermo Horacio
• Materia: GRAFOS ORIENTADOS; LP ALGEBRA DE OPERADORES; REPRESENTACIONES ESPACIALES; ALGEBRA SIMPLE; IDEAL S1 INVARIANTE; CONJUNTOS HEREDITARIOS Y SATURADOS; K-TEORIA; DIRECTED GRAPHS; LP OPERATOR ALGEBRAS; SPATIAL REPRESENTATIONS; SIMPLE ALGEBRA; GAUGE-INVARIANT IDEALS; HEREDITARY AND SATURATED SETS; K-THEORY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Esta tesis está dedicada al estudio de representaciones por operadores acotados en espacios Lp del álgebra de Leavitt LQ de un grafo. Sean Q un grafo orientado finito por filas y LQ su álgebra de Leavitt sobre C. Parap ∈ [1,∞) consideramos la noción de representación espacial de LQ por operadores linealesy acotados en un espacio Lp(X, μ), que generaliza la introducida por N.C. Phillips par el casoen que Q es la rosa de d pétalos, y LQ el álgebra de Leavitt Ld. Para cada p consideramos la completación Op(Q) de LQ bajo la norma ||a|| := sup ρ espacial ||ρ(a)|| (a ∈ LQ). Probamos que si LQ es simple y ρ es una Lp representación espacial no nula de LQ entonces ||a||ρ := ||ρ(a)|| no depende de ρ. En particular si LQ es simple, Op(Q) = ρ(LQ) paracualquier representación espacial no nula ρ. Probamos que si Q y F son dos grafos finitos por filas, y p y q distintos, no existe unmorfismo continuo de Op(Q) en Oq(F). Probamos además que Op(Q) es simple si y sólo si LQ lo es. Aquí, una Lp álgebra deoperadores A se dice simple si todo morfismo no nulo de A en otra Lp álgebra de operadoreses inyectivo. Esta definición de simplicidad no coincide con la de álgebras de Banach, pues podrían existir ideales cerrados que no sean el núcleo de un morfismo contractivo entre Lpálgebras de operadores, al contrario de lo que sucede en el caso de C*-álgebras. Probamos que existe una biyección entre la clase de ideales S1 invariantes en Op(Q) yel conjunto de subconjuntos de vértices hereditarios y saturados de Q. Este resultado esun análogo a la biyección ya conocida entre ideales graduados del álgebra de Leavitt y lossubconjuntos de vértices hereditarios y saturados. Para Q finito por filas arbitrario, calculamos la K-teoría topológica de Op(Q) y probamosque coincide con la de la C*-álgebra de Cuntz-Krieger de Q.
This thesis is devoted to the study of Leavitt path algebra representations by boundedoperators on Lp spaces. Let Q be a row finite directed graph and LQ the associated Leavitt algebra over C. For p ∈ [1,∞) we consider a notion of spatial representation of the Leavitt algebra LQ onspaces of the form Lp(X, μ). This generalizes the definition introduced by N. C. Phillips forthe case where the graph Q is the rose with d petals, and LQ is the Leavitt algebra Ld. For each p, we consider the closure Op(Q) of LQ with respect to the norm ||a|| := sup ρ spatial ||ρ(a)|| (a ∈ LQ). We prove that if LQ is simple and ρ is a nonzero Lp spatial representation of LQ, then ||a||ρ := ||ρ(a)|| does not depend on ρ. In particular, if LQ is simple, the equality Op(Q) = ρ(LQ)holds for any nonzero spatial representation ρ. Let Q and F be row finite graphs. We show that if p, q ∈ [1,∞) are different then there isno nonzero continuous homomorphism from Op(Q) to Oq(F). We also prove that Op(Q) is simple if and only if LQ is simple. Here an Lp operatoralgebra A is called simple if every nonzero contractive homomorphism from A to another Lp operator algebra is injective. This definition of simplicity is not the same as for Banachalgebras, because, unlike what happens with C*-algebras, an Lp operator algebra may have aclosed ideal which is not the kernel of any contractive homomorphism to another Lp-operatoralgebra. In addition, we give a bijection between the class of gauge-invariant ideals in Op(Q) andthe set of hereditary and saturated subsets of vertices of Q. This result can be viewed as ananalogue of the known bijection between graduated ideals of the Leavitt algebra and the setof hereditary and saturated subsets of vertices. Finally, for Q a row finite graph, we calculate the topological K-theory of Op(Q) and weprove that it agrees with the K-theory of the Cuntz-Krieger C*-algebra of Q.
Fil: Rodríguez, María Eugenia. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.