Una perspectiva computacional sobre números normales

• Autores: Heiber, Pablo Ariel
• Año de publicación: 2014
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Becher, Verónica Andrea
• Materia: NUMEROS NORMALES; COMPLEJIDAD ALGORITMICA; COMPLEJIDAD DESCRIPTIVA; AUTOMATAS FINITOS; COMPRESIBILIDAD; NORMAL NUMBERS; ALGORITHMIC COMPLEXITY; DESCRIPTIVE COMPLEXITY; FINITE AUTOMATA; COMPRESSIBILITY
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

La normalidad es una forma débil de azar. Un número real es normal enuna base entera dada si su expansión en esa base es balanceada: todos los bloques dela misma cantidad de dígitos tienen igual frecuencia en la expansión. La normalidadabsoluta es normalidad en toda base. En esta tesis resolvemos varios problemassobre normalidad: La existencia de números absolutamente normales computables era conocida,pero no se conocía ningún algoritmo que computara uno en tiempo polinomial. Nosotros damos un algoritmo que computa uno en tiempo apenas mayor acuadrático. Mostramos que el conjunto de números absolutamente normales, como subconjuntode los reales, no tiene otras propiedades aritméticas que las impuestaspor la definición de normalidad. Técnicamente, demostramos que el conjuntode números absolutamente normales es π°3-completo. Extendemos la caracterización conocida de normalidad en términos de incompresibilidadmediante autómatas finitos. Analizamos exhaustivamente todaslas maneras de mejorar un simple autómata finito agregando memoria de diferentesformas, permitiendo no-determinismo y permitiendo la lectura de la entradamás de una vez. Demostramos que la normalidad se preserva bajo reglas de selección basadasen préfijos finitos o sufijos infinitos reconocidos por autómatas finitos, pero noambos simultáneamente. Esto extiende un resultado conocido para el caso deprefijos.
Normality is a weak form of randomness. A real number is normalto a given integer base if its expansion in that base is balanced: all blocks of thesame number of digits occur with the same frequency in the expansion. Absolutenormality is normality to all bases. We solve several problems on normality: It was known that computable absolutely normal numbers exist, but no algorithmwas known to compute one in polynomial time. We give an algorithmthat computes one in just above quadratic time. We show that the set of absolutely normal numbers, as a subset of the realnumbers, has no other arithmetical properties than those imposed by the definitionof normality. Technically, we prove that the set of absolutely normalnumbers is π°3-complete. We extend the known characterization of normality in terms of incompressibilityby deterministic finite automata. We exhaust all ways of enhancing asimple finite state automaton by adding memory in different forms, allowingnon-determinism, and allowing to read the input more than once. We prove that normality is preserved by selection rules based on finite pre-fixes or infinite suffixes being recognized by finite automata, but not bothsimultaneously. This extends a known result about the prefixes case.
Fil: Heiber, Pablo Ariel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.