Homogenización de autovalores en operadores elípticos cuasilineales

• Autores: Salort, Ariel Martín
• Año de publicación: 2012
• Idioma: inglés
• Tipo de recurso: tesis doctoral
• Colaborador/a o director/a de tesis: Fernández Bonder, Julián; Pinasco, Juan Pablo
• Materia: P-LAPLACIANO; OPERADORES MONOTONOS; HOMOGENEIZACION; AUTOVALORES; TASAS DE CONVERGENCIA; G-CONVERGENCIA; INTEGRALES OSCILANTES; P-LAPLACIAN; MONOTONE OPERATORS; HOMOGENIZATION; EIGENVALUES; RATE CONVERGENCE; G-CONVERGENCE; OSCILLATING INTEGRALS
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Distintos problemas clásicos de vibraciones mecánicas son modelados con ecuaciones diferenciales, y las frecuencias de vibración corresponden a los autovalores de éstas. Estructuras tales como columnas, placas, membranas o cuerdas, obedecen distintas clases de problemas elípticos (el sistema de ecuaciones de la elasticidad, el laplaciano, el bilaplaciano, ecuaciones de Sturm Liouville). Estos operadores han sido muy estudiados y se conocen numerosas propiedades de sus autovalores, ver por ejemplo los trabajos clásicos de Courant, Hormander, Timoshenko, Titchmarsh, Weinstein [CoHi53, Hor68, Hor07, Ti46] entre otros. Durante el siglo XX, la teoría no lineal generó nuevas herramientas y problemas, y los autovalores son interpretados en este contexto como un parámetro de bifurcación, correponden a valores críticos para los cuales una estructura puede deformarse, colapsar o salir de equilibrio (buckling, bending). Podemos citar como ejemplo los trabajos de Antman, Browder, Berger, y Amann [Am72, An83, Be68, Br65]. En los últimos años, los nuevos materiales han creado nuevos desafíos. En particular, cuando se consideran mezclas de dos o más materiales se van obteniendo mejores propiedades específicas, y gracias a estas mejores características los materiales heterogéneos reemplazan a los homogéneos. Particularmente, materiales compuestos como por ejemplo los polímeros reforzados con fibras de vidrio o fibras de carbono, presentan unas excelentes relaciones rigidez/peso y resistencia/peso que los hace idóneos para determinados sectores productivos, esto hace que vayan desplazando a materiales tradicionales como el acero, la madera o el aluminio. Desde el punto de vista matemático esto significa principalmente que las soluciones de un problema de valores de contorno, que dependen solo de un parámetro pequeño, convergen a la solución de un problema límite de contorno que puede ser explícitamente descripto [Al02, CD99, OSY92, BCR06, SV93]. Un problema interesante, común a muchos problemas diferentes más, es obtener información sobre la existencia de transiciones de fases, situaciones en las cuales la variación del parámetro ε provoca diferentes comportamientos de las soluciones. En este trabajo nos centramos en el estudio de la homogeneización de problemas de autovalores en ecuaciones elípticas con condiciones de contorno del tipo Dirichlet y Neumann. Esta tesis se divide esencialmente en tres partes. Primero, recolectamos propiedades conocidas sobre el espectro del p−Laplaciano, y luego las generalizamos a una familia mas general de operadores. Hecho esto, definimos las nociones de H− y G−convergencia para operadores elípticos. Luego nos centramos en el estudio del comportamiento de integrales oscilantes, esto es, integrales que involucran coeficientes rápidamente oscilantes. En una última parte aplicamos estos resultados al estudio de la homogeneización de problemas de autovalores elípticos y la estimación las tasas de convergencia de los autovalores.
Different classical problems of mechanic vibration are modeled with differential equations, and the vibration frequencies correspond to the eigenvalues of these. Structures such as plates, membranes and strings, obey different class of elliptic problems (the laplacian, the bilaplacian, Sturm Liouville equations). Those operators have been extensively studied and are known many properties of their eigenvalues, see for instance the classical works of Hormander, Timoshenko, Titchmarsh, Weinstein [CoHi53, Hor68, Hor07, Ti46]. Along the XX century, the non-linear theory has generated new tools and problems, and in this context, eigenvalues are interpreted like a bifurcation parameter, corresponding to the critical values for which a structure can be deformed, collapse or lose the equilibrium (buckling, bending). We cite, for instance, works of Antman, Browder, Berger, y Amann [Am72, An83, Be68, Br65]. During the last years, new materials have created new challenges, Particularly, when are considered mixing of two or more materials, better specific properties are obtained. Due to this better characteristics, heterogeneous materials replace to homogeneous ones. Particularly, materials like polymers reinforced with glass fibers or carbon fibers, present excellent relations stiffness / weight and strength / weight. For these characteristics are ideal to certain sectors of production, and they are displacing to traditional materials like steel, wood or aluminum. From a mathematical point of view, this means mainly that solutions of a boundary value problem, which only depend of a small parameter, converge to the solution of a limit boundary problem which can be explicitly described [Al02, CD99, OSY92, BCR06, SV93]. Homogenization describes the global behavior of the composite materials. They are heterogeneous but the heterogeneities are very small compared to its dimension. The aim of this theory is to give macroscopic properties of the composite by taking into account the properties of the microscopic structure. In this work we focus in the study of the homogenization of elliptic eigenvalue problems either with homogeneous Dirichlet or Neumann boundary conditions. This thesis is divided in three parts. First, we collect known properties about the spectrum of the p−Laplacian operator, and then, we extend them to a more general family of operators. Done this, we define the H− and G−convergence for elliptic operators. Then, we focus in the study of the behavior of rapidly oscillating integrals, i.e., integrals involving rapidly oscillating coefficients. In the last part we apply these results to the study of the homogenization of elliptic eigenvalue problems and estimate the eigenvalue convergence rates.
Fil: Salort, Ariel Martín. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.