La equivalencia entre FO(IFP) y la clase B

• Autores: Disenfeld, Cynthia Roxana
• Año de publicación: 2007
• Idioma: español castellano
• Tipo de recurso: tesis de grado
• Colaborador/a o director/a de tesis: Grimson, Rafael; Martínez, Guillermo
• Institución: Universidad Nacional de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Desde sus inicios, en la Teoría de Complejidad se definen clases de problemas diferenciadas, o bien a través del tiempo o del espacio utilizado por una máquina de Turing para resolverlos. Un lenguaje L pertenece a la clase de complejidad temporal PTIME si y sólo si existe una máquina de Turing determinística que decide la pertenencia de una cadena w al lenguaje en tiempo t(n), donde t es una función polinomial y n es la longitud de w. Un lenguaje L pertenece a la clase de complejidad espacial LOGSPACE si y sólo si existe una máquina de Turing determinística que decide la pertenencia de una cadena w al lenguaje en espacio s(n), donde s es una función logarítmica y n es la longitud de w. En este trabajo nos concentraremos en la clase de complejidad temporal PTIME. Con el pasar de los a˜nos se encontraron otros modelos alternativos para capturar las clases de complejidad, por ejemplo mediante álgebras de funciones o por la expresividad de diferentes lógicas sobre modelos finitos. Para PTIME, entre otras, existen la caracterización algebraica de Bellantoni-Cook llamada clase B y la caracterización de R. Fagin a través de la lógica de Primer orden con Punto Fijo Inflacionario (FO(IFP)) sobre modelos finitos. Para mostrar la equivalencia de PTIME con FO(IFP), R. Fagin presenta en primer lugar una codificación que a cada estructructura (finita) del vocabulario fijado τ con k símbolos de relación y l símbolos de constante, le asigna una (k + l + 1)-upla de números binarios, es decir, un número binario para codificar cada relación, cada constante y el universo. La función de codificación está dada por bin(A) : τ-estructuras → {0, 1}^(k+l+1). Denotaremos Lϕτ al conjunto de las codificaciones de τ-estructuras que satisfacen ϕ (Notar que Lϕτ es un conjunto de (k + l + 1)-uplas de números binarios). Para ver FO(IFP) ⊆ PTIME, dada la clase de τ-estructuras determinada por ϕ (una fórmula bien formada en FO(IFP)), R. Fagin construye la máquina de Turing que decide si la codificación de una τ-estructura A pertenece a Lϕτ en tiempo t(|bin(A)|), donde t es una función polinomial. Para ver PTIME ⊆ FO(IFP), se construye una fórmula ϕ en FO(IFP) tal que una máquina de Turing M ∈ PTIME acepta la codificación de una τ−estructura A si y solo si A |= ϕ. Por otro lado, en 1964, A. Cobham dio una caracterización algebraica de la clase PTIME. Esta caracterización tiene como desventaja que a la definición habitual del operador de recursión se le debe a˜nadir una condición adicional sobre el tama˜no de la salida de la función. En 1992, S. Bellantoni y S. Cook presentan un álgebra de funciones que también caracteriza PTIME y no requiere probar acotaciones para el tama˜no de la salida de las funciones. A esta clase de funciones se le llama clase B. S. Bellantoni y S. Cook demuestran la equivalencia entre B y PTIME de manera indirecta al probar la equivalencia entre las funciones de la clase B y el álgebra de funciones definida por A. Cobham. Esto permite entonces establecer el siguiente cuadro de equivalencias: B equivalencia de algebras de funciones ≡ clase de Cobham máquinas de Turing ≡ PTIME máquinas de Turing ≡ FO(IFP) En esta tesis se mostrará directamente la equivalencia entre B y FO(IFP) sin utilizar máquinas de Turing ni el álgebra de funciones de Cobham, por medio de una asignación directa que permite representar cada función en B a través de una fórmula en FO(IFP) y viceversa
Fil: Disenfeld, Cynthia Roxana. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.