Aspectos geométricos de la teoría de Hartree-Fock-Bogoliubov - Alvarado, Claudia Damaris (2026)
La teoría de Hartree-Fock-Bogoliubov consiste en un método de aproximación en mecánica cuántica para sistemas fermiónicos que presentan un número de partí́culas variable. Si bien la teorí́a era bien conocida y utilizada en el marco de la fí́sica cuántica, fue recién tratada desde el punto de vista matemático en el trabajo pionero de Lieb, Bach y Solovej a principios de los años ‘90, donde se analizan las transformaciones de Bogoliubov, los estados cuasilibres y las matrices de densidad generalizadas. Este tipo de matrices de densidad son en realidad operadores acotados con cierta condición de traza en espacios de Hilbert infinito dimensionales. La teorí́a de Hartree-Fock-Bogoliubov se ha abordado desde diversas áreas de la matemática como ecuaciones diferenciales, cálculo variacional, teorí́a de operadores y análisis numérico, y ha generado problemas que continuán abiertos en la actualidad. En esta tesis doctoral investigamos la teorí́a de Hartree-Fock-Bogoliubov desde el punto de vista de los espacios homogéneos en geometrí́a infinito dimensional, estudiando principalmente la acción de las transformaciones de Bogoliubov en las matrices de densidad generalizadas. Demostramos que las órbitas de esta acción admiten la estructura de espacios homogéneos reductivos, y damos diversas caracterizaciones de cuándo éstas órbitas son también subvariedades de un espacio ambiente natural. Mediante argumentos basados en álgebras de Lie en dimensión infinita, probamos que las órbitas poseen una estructura de espacios homogéneo simpléctico. En el caso de órbitas de matrices de densidad generalizadas con espectro finito, probamos que además estas órbitas son variedades de Kähler homogéneas.