Álgebras de Nichols sobre grupos abelianos - Angiono, Iván Ezequiel (2007)
El presente trabajo está dividido en tres partes; en la primera, desarrollamos los conceptos necesarios para definir el álgebra de Nichols asociada a un espacio trenzado, tal como sucede en la capítulo 1. En el capítulo 2 se define la noción de álgebra de Nichols asociada a un módulo de Yetter-Drinfeld, demostrándose su existencia y unicidad a menos de isomorfismo para cada módulo de Yetter-Drinfeld de dimensión finita sobre un álgebra de Hopf con antípoda invertible; estos resultados están presentes en la sección 2.1. Luego, se dan diferentes caracterizaciones, siguiendo los trabajos de Andruskiewitsch con Schnei- der y Graña, en especial [AS5] y algunas cuestiones presentes en [AG]. En la sección 2.2 se presenta un caracterización a partir de la acción del grupo de trenzas del mismo orden que la dimensión del módulo de Yetter-Drinfeld sobre el álgebra tensorial de dicho objeto, lo cual permite extender esta noción a espacios trenzados. En la sección 2.3 se presenta una forma bilineal no degenerada sobre un par de álgebras de Nichols, y una caracterización mediante derivaciones torcidas para álgebras de Nichols de módulos de Yetter-Drinfeld sobre álgebras de grupos abelianos, que en particular vale para espacios trenzados de tipo diagonal. En la sección 2.4 se define el torcimiento sobre un álgebra de Hopf, y se muestra la invarianza de la dimensión de las componentes homogéneas de las álgebras de Nichols equivalentes por torcimiento. En la sección 2.5 se presentan diferentes clases de álgebras de Nichols, dependiendo de la forma de la trenza; en especial se demuestran varios resultados sobre álgebras de Nichols de tipo diagonal, el principal objeto de estudio de este trabajo. En la segunda parte, que comprende el capítulo 3, se desarrollan resultados de los trabajos de Kharchenko y Ufer. Para ello, en la sección 3.1 se definen las palabras de Lyndon, demostrándose la existencia y unicidad de la descomposición de Shirshov para cada una de ellas. También se demuestra la existencia y unicidad de la descomposición de Lyndon para cada palabra, no necesariamente de Lyndon. Estas dos descomposiciones nos permiten definir, tal como se desarrolla en la sección 3.2, un morfismo sobre el conjunto de palabras, que se relaciona con la adjunción en un álgebra de Hopf en la categoría de módulos de Yetter-Drinfeld sobre grupos abelianos, que se define sobre el álgebra tensorial de un módulo de Yetter-Drinfeld V sobre un álgebra de Hopf con antípoda biyectiva. De esta forma, se obtiene una base PBW del álgebra tensorial, usando las descomposiciones anteriores. En la sección 3.3, a partir de una elección conveniente de los generadores de la base PBW, se demuestra la existencia de una base PBW para cocientes del álgebra tensorial por un biideal, lo que en particular da lugar a una base PBW sobre un álgebra de Nichols de tipo diagonal, de acuerdo a la caracterización dada en el capítulo 2. En la sección 3.4 se utiliza el resultado anterior para dar una base PBW para un tipo particular de álgebras de Hopf, usando resultados sobre filtraciones y graduaciones de álgebras. La última parte se encuentra en el capítulo 4, en la cual se siguen los trabajos de Heckenberger, en especial [H4], pero también considerando los trabajos [AS2] y [AS4]. En la sección 4.1 se presentan diferentes resultados técnicos a utilizar en el resto del capítulo. En la sección 4.2 se consideran los grados de la base PBW obtenida antes, el cual será útil para caracterizar cuestiones acerca de la dimensión del álgebra de Nichols, o la dimensión de Gelfand-Kirillov de dicho objeto; se demuestra también un resultado presente en [R] acerca de álgebras de Nichols con dimensión de Gelfand-Kirillov finita. En la sección 4.3, luego de otros resultados técnicos, se presenta una transformación sobre un álgebra de Nichols de tipo diagonal bajo ciertas condiciones, y la transformación inducida sobre el conjunto de grados de los generadores de la base PBW. Luego, en la sección 4.4 se introduce la definición del grupoide de Weyl asociado a dicha álgebra de Nichols, y algunas caracterizaciones cuando alguno de los objetos que aparecen antes son conjuntos finitos, junto con la definición de sistemas generalizados de raíces, justamente una generalización de la noción de sistemas de raíces asociados a álgebras de Lie semisimples. Dichos resultados nos permitirán en la sección 4.5, luego de dar la definición de un espacio vectorial trenzado de tipo Cartan, dar resultados sobre los mismos. También se presentan como anexos resultados a utilizar a lo largo del trabajo, sobre coálgebras, números g-combinatorios, y sistemas de raíces y grupos de Coxeter.