Fases geométricas en sistemas mecánicos - Cabrera, Alejandro (2007)
Esta tesis está dedicada al estudio de fases geométricas en sistemas mecánicos clásicos y cuánticos. En primer lugar, estudiamos el movimiento de cuerpos que rotan con momento angular no nulo y que se auto-deforman, cuando la forma es una función conocida del tiempo. Como ocurre para un cuerpo rígido, el momento angular relativo al centro de masa, visto desde un sistema rotante, describe una curva en una esfera pero, en este caso, obedece una ecuación no-autónoma y más complicada. Mostramos que, cuando esta curva es cerrada y simple en un intervalo ∆T, la orientación espacial del cuerpo que se deforma queda completamente caracterizada por un ángulo o fase θM. Derivamos, además, una fórmula para este ángulo que generaliza la conocida fórmula de R. Montgomery para la fase del cuerpo rígido. Aplicamos, luego, estas técnicas a ejemplos concretos, obteniendo resultados analíticos sobre el movimiento de cuerpos que se deforman. Seguidamente, se lleva a cabo un estudio detallado de sistemas mecánicos que generalizan el caso antes mencionado. Asumimos que el espacio de conﬁguraciones es un ﬁbrado principal Q → Q/G y que los grados de libertad correspondientes a la base están siendo controlados. Consideramos, además, que el movimiento completo del sistema se induce desde el de la base debido a la presencia de vínculos no-holónomos. Mostramos que la solución puede ser factorizada en una parte dinámica y otra geométrica. En particular, en circunstancias cinemáticamente favorables, la parte dinámica admite una factorización adicional, ya que puede ser reconstruida a partir de una solución intermedia para el momento (referido al cuerpo), lo que da como resultado una fórmula de fases de reconstrucción. Los resultados obtenidos son aplicados al estudio de sistemas mecánicos concretos. En el último capítulo, establecemos un modo de identiﬁcar y construir los elementos geométrico-diferenciales que subyacen a las fases de Berry cuánticas. De esta manera, obtenemos una construcción genérica de los ﬁbrados de Berry a partir de los datos físicos del sistema a estudiar. Aplicamos esta construcción a sistemas usuales y a otros recientemente investigados, y analizamos las características geométricas de las fases de Berry asociadas.