Estabilidad respecto a dos medidas - Zorba, Germán Eduardo (2006)
Un posible camino para generalizar todos estos conceptos [relacionados a la estabilidad] es a través de la llamada estabilidad respecto a dos “medidas”. Aquí por “medidas” hacemos referencia a funciones continuas no negativas del espacio de fase. La primera de tales funciones será utilizada para medir la perturbación del estado inicial y la segunda para medir la perturbación del estado del sistema en un tiempo t cualquiera. Los distintos problemas de estabilidad ya mencionados se especializan a partir de éste tomando como “medida” a la distancia del estado a algún conjunto invariante. En el capítulo 2 definiremos los conceptos de estabilidad y atractividad respecto a dos medidas. Demostraremos un resultado que permite, en algunos casos, ahorrar trabajo a la hora de demostrar la estabilidad (mostraremos que la atractividad uniforme implica la estabilidad). Al demostrar un resultado como éste, automáticamente obtenemos el mismo resultado para varias clases de estabilidad menos generales. Precisamente ésta es una de las principales ventajas de la noción de estabilidad respecto a dos medidas: la de unificar la teoría. En el capítulo 3 definimos un concepto de estabilidad más débil que el anterior (al que llamamos qusiestabilidad). Se dan dos caracterizaciones equivalentes de la quasiestabilidad y se hallan condiciones bajo las cuales la quasiestabilidad es equivalente a la estabilidad respecto a dos medidas. Como una aplicación se ve cómo pueden expresarse las definiciones de estabilidad de puntos de equilibrio para sistemas no autónomos utilizando las definiciones de estabilidad y quasiestabilidad parcial [6]. Como un ejemplo de cómo la teoría puede tomar caminos poco intuitivos y la intuición llevarnos a resultados erróneos, estudiaremos un trabajo de Miroshnik [5] y presentaremos un contraejemplo para un resultado enunciado allí como teorema. En el capítulo 4 extendemos el llamado método directo de Lyapunov para ser aplicado a la estabilidad respecto a dos medidas (y consecuentemente a todas las formas de estabilidad que ésta generaliza). La posibilidad de ver a las funciones de Lyapunov como medidas permite enfocar la demostración de este teorema desde un punto de vista ligeramente distinto (aunque los pasos para la demostración no se apartan de la demostración clásica). A modo de ejemplo, estudiamos el problema de estabilización parcial de un péndulo invertido sobre un carrito. En el capítulo 5 veremos que los problemas de estabilidad que pueden ser estudiados mediante linealización, en general pueden ser resueltos valiéndose del teorema de la variedad central (en aquellos casos en que la matriz de la linealización tiene autovalores sobre el eje imaginario, el resto de los casos se pueden resolver de manera más simple). Mostraremos dos ejemplos de aplicación, uno de estabilidad parcial de cierta clase de sistemas económicos [7], y otro de estabilización parcial de un cuerpo rígido utilizando un solo rotor para controlarlo [8].