Álgebras de Vries y Espacios de Proximidad - Gallardo, Isis Aymara (2016)
En 1936 Marshall Stone (1903-1989), motivado por sus investigaciones en la Teoría Espectral de Espacios de Hilbert, estudió la teoría de representación de las álgebras de Boole. Sus resultados fueron publicados en el celebrado artículo The Theory of Representations of Boolean Algebras. En este artículo Stone demuestra, entre otros resultados, que la categoría de los espacios topológicos compactos, Hausdorff y cero dimensionales (llamados espacios de Stone) junto con las funciones continuas es dualmente equivalente a la categoría de las ´algebras de Boole y cuyos morfismos son los homomorfismos Booleanos. La estrecha conexión que existe entre álgebras de Boole y los espacios de Stone ha sido utilizada en diversas ramas de la matemática y ha sido generalizada de diversas maneras. En 1938, el mismo M. Stone extendió estos resultados a la clase de los retículos distributivos y a la clase de las álgebras de Heyting en el artículo Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics. Más precisamente, Stone demostró que la categoría de los espacios compactos donde el conjunto de todos los abiertos y compactos es una base para la topología, y cerrada bajo intersecciones finitas junto con las funciones espectrales es equivalente a la categoría de los retículos distributivos acotados, donde los morfismos son los homomorfismos de retículos. Estas representaciones y dualidades han enriquecido tanto a la teoría de las estructuras algebraicas ordenadas como a la Topología General.Además de los espacios topológicos existen otras estructuras matemáticas que nos permiten estudiar propiedades de puntos y conjuntos en un espacio. Por ejemplo, los espacios de proximidad, también llamados espacios de cercanía, o los espacios uniforme o espacios con una uniformidad, son estructuras matemáticas que permiten abordar el estudio abstracto de puntos y conjuntos en un determinado universo o conjunto base. Nuestro interés está centralizado en los espacios de proximidad. En términos intuitivos un espacio de proximidad es conjunto no vacío X dotado de una relación binaria _ entre subconjuntos de X, llamada relación de proximidad o cercanía, con la interpretación intuitiva de que A_ B es válido, o que el par (A;B) 2 _, cuando A está cerca de B. Cada espacio de proximidad determina de forma natural una topología. El concepto de proximidad puede ser considerado como un concepto intermedio entre el de topología (espacios topológicos) y uniformidades (espacios uniformes) definidas en un conjunto. Este tipo de estructuras fueron definidos inicialmente por Efremovic V. A en. Un estudio detallado de los espacios de proximidad se encuentra en el libro . Cualquier relación de proximidad _ definida en un conjunto produce una relación _ definida por U _ V si y sólo si U _ V . No es difícil comprobar que los espacios de proximidad pueden ser definidos en términos de esta nueva relación. En 1962, H. De Vries introduce la clase de álgebras de Boole completas dotadas de una relación binaria _ (llamada relación de subordinación) conocidas como álgebras de Vries (también llamadas álgebras de contacto normales).H. de Vries demostró que la categoría de estas álgebras junto con adecuados morfismos es dual a la categoría de los espacios topológicos compactos y Hausdorff donde los morfismos son las funciones continuas entre espacios topológicos. Esta clase de álgebras corresponde a la algebrización de la noción de proximidad definida en un conjunto. Uno de los orígenes del trabajo de De Vries en la descripción de Yu. M. Smirnov (On proximity spaces, Mat. Sb. 1957) del conjunto ordenado de todas las compactificaciones de un espacio completamente regular X por medio de las relaciones de proximidad compatibles con la topología de X. Cada relación de proximidad induce una topología y bajo ciertas condiciones esa topología es completamente regular. En el caso de espacios compactos y de Hausdorff existe una única relación de proximidad que induce la topología. Uno de los resultados más importantes en esta área afirma que en un espacio completamente regular X, las proximidades que induce la topología de X describe todas las posibles compactificaciones X. A partir de la década del 2000 con los trabajos de Dimov G, Vakarelov D, [10, 12], D¨untsch I., Orłowska E., Winter M., y más recientemente de BezhanishviliG., Bezhanishvili N., y Harding J, esta área ha tenido un resurgimiento, motivado especialmente por las nuevas conexiones que existen entre proximidades definidas en conjuntos, compactificaciones y estructuras algebraicas ordenadas dotadas de algún tipo de relaci´on de proximidad. Como hemos mencionado anteriormente, las ´algebras de Vries pueden ser consideradas como el enfoque algebraico de los espacios de proximidad. Existe otra forma de definir a las ´álgebras de Vries que permite establecer una conexión con la lógica modal. Esta conexión se da a través de definir a las álgebras de Vries como álgebras de Boole completas dotadas de una función entre el álgebra y el retículo de los ideales del álgebra. Estas funciones son conocidas como operadores cuasi-modales. Estos operadores cuasi-modales son una generalización de los operadores modales definidos en álgebras de Boole. Por lo tanto, definiendo a las álgebras de Vries como álgebras de Boole completas con un operador cuasimodal estamos estableciendo una conexión con las álgebras modales y en consecuencia con la lógica modal. Párrafo extraído de la tesis de grado a modo de resumen