Un estudio algebraico y topológico en variedades de álgebras de De Morgan con operadores - Figallo Orellano, Aldo (2014)
El volumen que aquí presentamos esta organizado en 6 capítulos. En el primero se describen resultados conocidos que facilitar´an la lectura de la tesis, el mismo no tiene pretenciones de originalidad. El Capítulo II está organizado en siete secciones. Comenzamos señalando las motivaciones para el estudio de operadores simétricos en las álgebras de De Morgan pseudocomplementadas modales, a las que denominamos S-álgebras. Posteriormente, determinamos las álgebras generadoras de esta variedad y mostramos que es semisimple. A continuación, estudiamos las álgebras finitas y finitamente generadas lo que nos permitió afirmar que es una variedad localmente finita. También determinamos la estructura de las S-álgebras libres con n, (n < !) generadores libres y exhibimos el número de elementos de la misma en función del número de generadores. Completamos el capítulo determinando las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de epimorfismos entre S-álgebras finitas. Para ello, debimos realizar un estudio minucioso del espectro primo de las S-álgebras, en particular, probamos que el mismo se puede descomponer como una suma cardinal especial. A partir de estos resultados contabilizamos el número de epimorfimos que es posible definir entre álgebras finitas y mostramos dicho número en casos particulares como las mpM-álgebras, las álgebras de Lukasiewicz-Moisil de orden 3 y las álgebras de Boole. Finalizamos el capítulo describiendo el retículo de las subvariedades de la variedad de las S-álgebras. En el Capítulo III, introducimos y estudiamos las mpM-´algebras enriquecidas con un automorfismo de periodo k, donde k 2 IN, k 2 a las que llamamos Ck-álgebras. Los resultados de este capítulo son la generalización natural de los obtenidos en el capítulo anterior para de las S-álgebras, que son el caso k = 2. Comenzamos presentando las propiedades m´as importantes de esta nueva estructura. Posteriormente, establecemos una correspondencia entre conguencias y c-filtros, (i.e.: ciertos filtros especiales del álgebra) lo que permite determinar la familia de ultrafiltros asociada a cada c-filtro maxinal. Por otra parte, determinamos las condiciones necesarias y suficientes para que una congruencia sea maximal, lo que fue posible considerando una nueva operaci´on binaria, la implicación cíclica, y caracterizando a las congruencias por medio de los sistemas deductivos asociados a está implicación. Además, las propiedades que verifica esta implicación nos permitió mostrar que la variedad de las Ck-álgebras es semisimple. Por otra parte, estudiando el espectro primo de una Ck-álgebra y utilizando técnicas diferentes al caso k = 2, ya que la estructura de las Ck-álgebras es mucho más complejo que de las S-álgebras, determinamos las álgebras generadoras de la variedad. También, mostramos que la variedad es finitamente generada y localmente finita. Por último, determinamos el cardinal de la Ck-álgebra libre con un conjunto de n (n < !) generadores libres en funci´on de los parámetros k y n y verificamos este resultado para los casos k = 1 y k = 2 mostrando que ellos coninciden con los ya obtenidos en [61] y en el Capítulo II de esta tesis, respectivamente. En el Capítulo IV, definimos las mpM-álgebras monádicas (o M-álgebras). A cada álgebra de esta nueva clase ecuacional, la tratamos como un par formado por una mpM- álgebra y un cuantificador existencial. En primer lugar, exhibimos propiedades y mostramos la relación existente entre estas álgebras y otras estructuras conocidas. Además, a partir de una familia especial de sub´algebras de una mpM-álgebra determinamos como obtener todos los cuantificadores que la transforman en unaM-álgebra. A continuación, iniciamos un estudio topológico de las mismas, asociando a cada M-álgebra un espacio compacto, Hausdorff y totalmente disconexo en el orden, enriquecido con una relación de equivalencia, al estilo de las dualidades de Halmos-Priestley. Esta primera representación nos permitió realizar un estudio exhaustivo de las congruencias. En particular, mostramos que existe un isomorfismo entre el retículo de ciertos subconjuntos abiertos, cerrados e involutivos del espacio asociado a una M-álgebra y el retículo de las M−congruencias principales de la misma. Además, probamos que las congruencias principales y booleanas coinciden y en el caso finito determinamos su cardinal. Luego, mostramos que las congruencias principales quedan también determinadas por ciertos filtros especiales del álgebra, completando el estudio de las mismas. Finalmente, terminamos el capíıtulo señalando que, a diferencia de lo que ocurre en otras clases de álgebras, aquí, no siempre, es posible definir la estructura monádica partir de la k-cíclica. En el Capítulo V, continuamos el estudio de las M-álgebras y presentamos una segunda representación topológica la que nos permitió determinar las álgebras generadoras (finitas o infinitas) de la variedad. Primeramente, profundizamos el estudio del espectro primo de lasM-álgebras, lo que nos permitió obtener una nueva representación topológica para estas álgebras considerando la categoría de los sm-espacios y las sm-funciones. Dicha dualidad cuenta con la ventaja de brindar más información que la primera, sobre el efecto de la relación de equivalencia en el espacio. Por otro lado, probamos que las condiciones que se le piden a los q-espacios (ver [9]) resultan adecuadas para que el espacio cociente sea un espacio de Priestley con la topología de identificación y que la proyección canónica sea una función continua que preserva el orden. Además, mostramos que este resultado se tralada a las espacios de De Morgan monádicos ([62, p.84]) y a los sm-espacios, lo que es fundamental para el estudio subsiguiente. Por otra parte, utilizamos conceptos de topología general tales como convergencia y acomulación de redes (suceciones de Moore- Smith) y el teorema de extensión de funciones continuas para espacios T3, entre otros, para determinar las M-álgebras generadoras de cardinalidad arbitraria. Finalmente, teniendo en cuenta algunos de los resultados precedentes, analizamos la relación entre las álgebras de De Morgan monádicas ([62]) y las álgebras tetravalentes modales monádicas ([74]). En particular, probamos que toda álgebra tetravalente modal equipada con un cuantificador especial es álgebras de De Morgan monádicas una simple. Luego, estamos en condiciones de decir que el retículo de las subvariedades de álgebras de De Morgan monádicas es mucho más complejo que el retículo de las subvariedades de los Q-retículos distributivos acotados introducidos por Cignoli en [9]. Finalmente, en el Capítulo VI introducimos las MV -álgebras con dos cuantificadores que conmutan las cuales, como ya dijimos, son una generalización natural de las álgebras cilíndricas de dimensión dos libre de elementos diagonales. El tramtamiento de estas álgebras esta dado en términos de implicación y negación. Este hecho nos permite simplificar los resultados establecidos por Di Nola y Grigolia [18] en cuanto a la caracterización de los cuantificadores por medio de subálgebras relativamente completas especiales. Además, probamos que esta nueva variedad tiene la propiedad de extensión de congruencias y que es a congruencias distributivas. Por otra parte, desarollamos una dualidad topológica para estas álgebras y como aplicación de la misma, caracterizamos a las congruencias por medio de ciertos subconjuntos cerrados del espacio asociado a un álgebra. Además, estudiamos la variedad generada por cadenas de longitud n + 1 (n < !)y, entre otras resultados, probamos que se trata de una subvariedad semisimple y caracterizamos sus miembros subdirectamente irreducibles. Finalmente, a partir de un álgebra funcional especial determinamos un conjunto importante de las álgebras simples y exhibimos la totalidad de ellas en el caso finito.