Bifurcaciones globales y sincronía en redes y sistemas no suaves - Chialva, Ulises (2019)
Las redes y los sistemas no suaves constituyen uno de los tópicos más recientes y estudiados en la teorÍa de los sistemas dinÁmicos. Distintos desarrollos y problemas surgidos de disciplinas como la fÍsica, la biologÍa, la informática y la electrónica, han generado la necesidad de expandir las clásicas herramientas utilizadas para los sistemas suaves a estos nuevos objetos. Por ello, los conceptos y herramientas de la teoría clásica de sistema dinámicos resultan sistemáticamente generalizados a este nuevo contexto, aunque las particularidades propias de la dinámicas colectivas y/o discontinuas provocan que esta generalización no sea directa. A lo largo de esta tesis nos concentramos en el análisis de la dinámica de un tipo específico de redes y de cierto tipo específico de sistemas no suaves. Por un lado damos cuenta de un tipo particular de redes no suaves denominadas threshold linear networks (TLN). Recurriendo a desarrollos formales y a la simulación numérica, investigamos el fenómeno de sincronía en estas redes, así como ciertas bifurcaciones globales que tienen lugar (dadas por la aparición/desaparición de conexiones heteróclinas y homóclinas). Logramos establecer resultados que dan condiciones suficientes para tales comportamientos, y mediante simulación, reportamos nuevos fenómenos asociados a estas redes. Por otro lado, motivados por el estudio de dinámicas fuertemente discontinuas, recurrimos a ejemplos concretos (algunos clásicos y otros más novedosos), enfocándonos en particular en aquellos que son de tipo híbrido. Mediante simulaciones numéricas exhibimos las distintas dinámicas caóticas que estos sistemas poseen, y damos cuenta de las similitudes y diferencias que tienen lugar al compararlos con los sistemas clásicos. Además presentamos la generalización al caso no suave de dos herramientas utilizadas para estudiar los sistemas dinámicos y la sincronía de redes: el exponente maximal de Lyapunov y la master stability function (MSF). Primero comentamos dos metodologías utilizadas para estimar el exponente maximal de Lyapunov, que son el método de Stefanski y el método de la matriz de salto, y las ejemplificamos aplicándolas a sistemas caóticos no suaves. Luego aportamos una generalización de la MSF, aplicable a un tipo de redes (propuestas por nosotros) caracterizadas por poseer un fuerte comportamiento discontinuo: las redes híbridas. Damos un ejemplo original de este tipo de red y realizamos la evaluación de su MSF. Además discutimos la posibilidad de generalizar esta herramienta a casos de acoplamiento no lineal y damos una respuesta negativa a tal situación. Por último, estudiamos el caso de una red de dos osciladores conectados de manera lineal a trozos y discutimos su adaptabilidad, que es posible en este caso particular.