Álgebras de Lukasiewicz-Moisil Θ-valuadas - Pascual, Inés Beatriz (2016)
En esta tesis investigamos la clase de las álgebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas, siendo el tipo de orden de un conjunto totalmente ordenado. Al trabajo lo hemos organizado en cinco capítulos. El Capítulo 1 consta de cuatro secciones y los resultados indicados en ellas son conocidos. Los hemos incluído tanto para facilitar la lectura posterior, como para fijar las definiciones de las álgebras y las dualidades topológicas que utilizamos en los capítulos siguientes. En el Capítulo 2 consta de dos secciones. En la primera sección, determinamos una dualidad topológica para las álgebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas sin negación (LM −álgebras), equivalente a la dada por A. Filipoiu en 1980 para arbitrario. Además, consideramos el caso particular de las LM −álgebras en las que es un entero n, n 2 (LMn−´algebras). En la segunda sección, extendemos a las ´algebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas con negaci´on (nLM −álgebras) la dualidad anteriormente obtenida para las LM −álgebras y la dualidad de las álgebras de De Morgan determinada por W. Cornish y P. Fowler en [22]. También analizamos el caso particular en el que es un entero n, n 2 (nLMn−álgebras). Es un hecho conocido que debido a que el álgebra cociente de una LM −algebra por una congruencia de la misma, en el sentido del ´algebra universal, no necesariamente satisface el principio de determinaci´on de Moisil, se introduce un concepto más fuerte de congruencia sobre estas álgebras, a las que se las llama −congruencias. En las dos secciones de este capítulo, no solamente caracterizamos el retículo de las congruencias y el de las −congruencias de estas álgebras, sino que también describimos las álgebras simples y subdirectamente irreducibles de cada una de esta clase de ´algebras con respecto a ambas congruencias y tambi´en afirmamos que las álgebras antes mencionados coinciden. Es más determinamos que el espacio asociado a cada una de estas álgebras es un conjunto totalmente ordenado. A partir de este resultado y usando técnicas topológicas obtenemos estas álgebras, arrivando así, por medio de un razonamiento diferente, a los resultados indicados por R. Cignoli en [15], en el caso de las nLMn−álgebras y los de V. Boicescu y otros en [13], en otro caso. A partir de la caracterizaci´on obtenida de las conguencias maximales probamos que las LM −álgebras y las nLM −álgebras son semisimples. Además establecemos, tanto para las LM −álgebras como para las nLM −álgebras, una correspondencia entre la familia de las −congruencias y la familia de ciertos filtros especiales de estas álgebras, a los que se les llama −filtros. Finalizamos este capítulo determinando, a través de las dualidades de estas álgebras, condiciones necesarias y suficientes para que las nociones de LMn−álgebra y nLMn−álgebra sean equivalentes. La mayoría de los resultados que se detallan en este capítulo se publicaron en A.V. Figallo, I. Pascual and A. Ziliani, A Duality for −Valued Lukasiewicz–Moisil Algebras and Applications. Journal of Multiple Valued Logic & Soft Computing. Vol. 16 (2010), pp. 303-322. Estos resultados se expusieron previamente en XIV Latin American Symposium on Mathematical Logic, Parati, Brasil en 2008. El Caíıtulo 3 est´s organizado en cuatro secciones y en él nos dedicamos a estudiar las congruencias y las −congruencias de las LM −álgebras y las nLM −álgebras, teniendo en cuenta las dualidades topológicas obtenidas en el Capítulo 2. En la primera sección, logramos una caracterización de las congruencias principales y otra de las −congruencias principales. Por medio de esta última caracterización probamos que la intersección de dos −congruencias principales de una LM −algebra es una −congruencia principal. Además, cuando es un entero n, n 2, obtenemos los filtros que determinan las congruencias principales sobre una LMn−algebra, y a partir de este resultado demostramos que la intersecci´on de dos congruencias principales de dicha álgebra es tambi´en una congruencia principal. En los otros casos damos condiciones suficientes para que la intersección de dos congruencias principales de una LM −álgebra no sea principal. En la segunda sección, centramos nuestra atenci´on en las congruencias y las −congruencias booleanas delas LM −álgebras. En primer lugar, las caracterizamos por medio de ciertos subconjuntos cerrados y abiertos de su espacio asociado. Usando estas caracterizaciones demostramos que estas congruencias coinciden, y también que son las congruencias principales determinadas por los filtros generados por elementos booleanos de estas álgebras. Este último resultado nos permite establecer condiciones necesarias y suficientes para que una congruencia principal sea booleana, y también determinar que las congruencias booleanas son conmutativas, regulares y uniformes. Además, analizamos el caso particular de las LM −algebras completas. La mayor parte de los resultados que se indican en las dos primeras secciones de este capítulo se publicaron en A.V. Figallo, I. Pascual and A. Ziliani, Principal and Boolean Congruences on −valued Lukasiewicz–Moisil algebras. Logic withouth frontiers. Festschrift for Walter Alexandre Carnielli on the occasion of his 60 th Birthday, 17 (2012), pp. 215-237. Algunos de estos resultados se expusieron previamente en XIII Latin American Symposium on Mathematical Logic, Oaxaca, Méjico, en 2006 y otros de estos resultados, en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina en 2007. En la tercera sección de este capítulo, estudiamos las congruencias y las −congruencias principales y booleanas de las LM −álgebras que son producto de una familia finita de LM −álgebras totalmente ordenadas. Como consecuencia de ello obtenemos que las congruencias sobre estas álgebras son −congruencias y además que son principales y booleanas. A partir de este hecho probamos que el cardinal del álgebra booleana de las congruencias de un álgebra de esta subclase, está dado por el cardinal del álgebra booleana de los elementos complementados de dicha álgebra. Estos resultados se expusieron en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina en 2006. En la última secci´on caracterizamos y analizamos las congruencias y −congruencias principales y booleanas de las nLM −álgebras. En todas las secciones consideramos en forma particular el caso en el que es un entero n, n 2. El Capítulo 4 está organizado en cuatro secciones. En la primera sección, comenzamos definiendo las álgebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas sin negación monádicas o mLM −álgebras y las álgebras de Lukasiewicz −valuadas sin negación monádicas fuertes o smLM −álgebras para arbitrario y consideramos el caso particular en el que es un entero n, n 2, a las que las denotamos por mLMn−álgebras y smLMn−álgebras, respectivamente. Luego, nos dedicamos a determinar una dualidad topológica para cada una de estas clases de álgebras, extendiendo las dualidades topol´ogicas para los M−retículos y sM−retículos, descriptas en el Capítulo 1 y la dualidad determinada en el Capítulo 2 para las LM −álgebras. A trav´es de estas dualidades obtenemos propiedades de las mLM −álgebras, de las que resulta que toda mLM −álgebra es una smLM −álgebra y consecuentemente que los conceptos de mLM −álgebra y smLM −´algebra son equivalentes. En la segunda sección, tambi´en por medio de la dualidad, caracterizamos las congruencias y las −congruencias y las congruencias y las −congruencias maximales y booleanas sobre una mLM −álgebra, y a partir de estas caracterizaciones realizamos un estudio detallado de las mismas. Luego, en la tercera sección, abordamos el problema de determinar las álgebras subdirectamente irreducibles de esta clase de álgebras con respecto a las congruencias y a las −congruencias. En primer lugar, las caracterizaciones anteriores nos permiten afirmar que estas álgebras coinciden y que son también las mLM −álgebras simples con respecto a ambas congruencias. Luego, por medio del espacio topológico cociente por la relaci´on de equivalencia definida en los espacios asociados a las mLM −álgebras, probamos que la imagen del cuantificador de una mLM −álgebra simple es una LM −álgebra simple. Finalmente, a partir de este último resultado y usando conceptos de topología general, determinamos todas las mLM −álgebras simples. Cabe mencionar que algunos de los temas que se presentan en este capítulo fueron aceptados en el XVI Latin American Symposium on Mathematical Logic, Buenos Aires en 2014. El Capítulo 5 consta de tres secciones. En la primera sección, desarrollamos una dualidad topológica para las álgebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas con negación monádicas o qnLM −álgebras, con infinito y finito. Estas álgebras fueron introducidas por G. Georgescu y C. Vraciu en [42], e investigadas por M. Abad en [1] cuando es un entero n, n 2 (qnLMn−álgebras). Cuando nos restringimos a la categoría de los Q−retículos distributivos y Q−homomorfismos, esta dualidad coincide con la obtenida por R. Cigx noli en [18]. En la segunda sección, por medio de la dualidad obtenida, logramos una nueva caracterización de las congruencias, las −congruencias y de las congruencias y −congruencias maximales y booleanas sobre estas álgebras. A partir de la caracterización de las congruencias maximales probamos que las qnLM −álgebras son semisimples. En la tercera sección, usando los resultados de la Sección 2, establecemos que las qnLM −álgebras simples y subdirectamente irreducibles con respecto a ambas congruencias coinciden. Además en esta sección, empleando el mismo método topológico que el que se utilizó para las mLM −álgebras, determinamos todas las qnLM −álgebras simples, las que se caracterizan por el hecho de que la imagen del cuantificador, definido en cada una de estas álgebras, es una nLM −álgebra simple; obteniendo así, de un modo diferente, los resultados establecidos por M. Abad en [1], para el caso en que es un entero n, n 2. La dualidad para las qnLMn−álgebras y sus aplicaciones se publicaron en Figallo, A. V.; Pascual, I.; Ziliani, A. Notes On Monadic n-valued Lukasiewicz Algebras. Math. Bohem. 129 (2004), no. 3, 255–271. Algunos de los resultados de la dualidad de las qnLM −álgebras, infinito, se presentaron y discutieron en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina en 2005. Varios de los resultados de esta tesis que todavía no se han publicado, están en vías de publicación ([29], [32]). Finalizamos este trabajo dando una breve enumeración de los posibles desarrollos futuros.